Bewegmig (AJlgemeine B> i \vi -u-i 1 i igsli -Im i 



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so, daB die durch die Bewegimg erzeugten 

 Tragheitskrafte den auBeren Kraften das 

 Gleichgewicht halten. Daim muB nach der . 

 ersten Gleichgewichtsregel die Vektorsumme 

 aus alien auBeren und Traglieitskniften gleicli 

 Null sein. Die Folgerung aus Regel 2 siehe im 

 Artikel ,,Drehbewegung". Wir denken 

 uns den starren Korper aus n starr ver- 

 bundenen Massenpunkten mit den Massen 

 nij, m 2 , . . ., m n zusammengesetzt ; die auf diese 

 Massen wirkenden auBeren Krafte seien bezw. 

 $!, f 2 , ...., n ; die Beschleunigungen der 

 Punkte: ro l5 it) 2 , ..., ro n ; dann ist die auf den 

 k-ten Punkt wirkende Tragheitskraft -ntk 

 tttk und die Beschleunigungen mussen, wenn 

 die Tragheitskrafte den auBeren Kraften das 

 Gleichgewicht halten sollen, die Bedingung 

 erf iillen : 



m, tt>! m 2 tt>s . . . - 



+ 2 + ...n = . . . 82) 



Nun ist, wennbi, .. , b n die Geschwindigkeiten 

 der Punkte sind: 



J == m^! + nisstoj-f. ..+ m n to n 



der Gesamtimpuls des Korpers. Daher ist, 

 wenn wir die Beschleunigung durch die Ge- 

 schwindigkeiten (nach Abschnitt 8, Gl. 33) 

 naherungsweise ausdriicken : 



Jtt) J(o) 



m x It)! + m 2 10 2 + + n fan no 



LI L 



wo tj 1 ein kleines Zeitintervall, J(), J( x ) 

 die Werte des Impulses am Anfang bezw. 

 Ende dieses Intervalles sind. Setzen wir j 

 Beziehung (82) zwischen den Beschleuni- 

 gungen und den iiuBeren Kraften ein, so er- 

 halten wir: 



J( 1 )--J()==(t 1 --t ) . . 83) 



wenn wir mit die Vektorsumme der auBeren 

 Krafte bezeichnen. Die Zunahme des Im- 

 pulses eines starren Korpers ist also gleich 

 dem Antrieb der Resultierenden der auBeren 

 Krafte. Nun ist aber der Impuls eines be- 

 liebigen Massensystems gleich dem Impuls 

 eines Massenpunktes, der sich im Schwer- 

 punkt des Systems befindet, und zur Masse 

 die Gesamtmasse des Systems hat. Nennen 

 wir M die Gesamtmasse des starren Korpers, j 

 t> die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, 

 so ist der Impuls des Schwerpunktes: 



und es gilt nach dem eben Gesagten die 



Gleichung: 



oder: 



M 



^ft. ... 84) 



Der Quotient auf der linken Seite geht aber, 

 wenn wir nun das Zeitintervall t , t t und ge- 

 niigend klein wahlen, in die Beschleunigung 

 ro iiber; claim gilt die exakte Gleichung: 



82) 



d. h. der Schwerpunkt bewegt sich wie oin 

 freier Massenpunkt von der Gesamtmasse 

 des Korpers, auf den alle am Korper an- 

 greifenden Ivrafte wirken. Der Schwerpunkt 

 eines starren Korpers verhalt sich also so, 

 wie der eines mechanischen Systems, in 

 dem nur innere Krafte wirken (s. unter III 

 Abschnitt 20). 



So bewegt sich z. B. der Schwerpunkt 

 eines Geschosses wie ein materieller Punkt 

 beim Wurfe nach den im Abschnitt 10 

 (Gleichung 58) aufgestellten Formehi. 



Die Bewegung der starren Korper um 

 ihren Schwerpunkt wird im Artikel ,,Dreli- 

 bewegung" behandelt. 



26. Zyklische und stationare Bewe- 

 gungen. Stabilitat von Bewegungen. 

 Wir nennen eine Bewegung eines Massen- 

 systems eine zyklische, wenn jede 

 Masse, die eine Stelle verlaBt, sofort wieder 

 durch eine gleiche Masse von gleicher 

 Geschwindigkeit ersetzt wird. Ein Beispiel 

 dafiir bietet etwa eine homogene zylind- 

 rische Walze, die mit gleichformiger Ge- 

 schwindigkeit um die durch ihre Mitte 

 gehende Achse rotiert; oder eine Fliissig- 

 keit, die mit konstanter Geschwindigkeit 

 einen kreisfb'rmigen Kanal durchstromt. Die 

 Drehung eines Rades und ahnliche Bewegun- 

 gen, die nicht exakt zyklisch sind, weil wegen 

 der Zwischenraume der Speichen nicht jede 

 Masse sofort ersetzt wird, wo aber doch 

 dieser Ersatz in regelmaBigen Intervallen 

 stattfindet, nennt man eine nahezu zyklische. 

 Wenn das System n Freiheitsgrade hat, so 

 laBt sich die Bewegung durch die Aenderung 

 von n lagebestimmende GroBen (Koordi- 

 naten) beschreiben. Wenn bei Aenderung 

 eiuer Koordinate mit Konstanthaltung aller 

 anderen eine zyklische Bewegung entsteht, 

 heiBt erstere eine zyklische Koordinate. Wenn 

 etwa eine sich drehende Walze sich noch 

 gleichzeitig im Raum bewegt, so ist nur ihr 

 Drehungswinkel eine zyklische Koordinate. 

 Ein System, das nur eine zyklische Koordinate 

 hat, heiBt ein Monozykel, z. B. die erwahnte 

 Walze. Wenn zwei zyklische Koordinaten 

 vorhanden sind, wenn z. B. zwei Walzen im 

 Gang sind, dieunabhangigvoneinanderlaufen, 

 so heiBt das System ein Bizykel, im allge- 

 meinen Falle bei beliebiger Anzahl zyklischer 

 Koordinaten ein Polyzykel. 



Wenn sich auch die nichtzyklischen 

 Koordinaten andern, kann die Bewegung 

 keine streng zyklische mehr sein. Demi da- 

 durch, daB sich z. B. die rotierende Walze 

 im Raum bewegt, tritt bei der Drehung nicht 

 mehr exakt ein Teilchen an die Stelles eines 

 Vorgangers. Doch nennt man auch solche 

 Bewegungen noch zyklische, wenn die Aende- 

 rung der nichtzyklischen Koordinaten gegen- 



