Drehbewegung 



1091) 



1st speziell die Achse parallel der Kante c, 



so 1st y == o, a ==/?== ~ und 



= 



.48) 



= _ma 2 



.49) 



und t'iir den Wiirfel (a=b) 



1 



6 



Oft sind die Korper nur scheibenartig 

 oder fadenartig. Dann konnen wir die 

 Massen als flachenhaft oder linienhaft ver- 

 teilt ansehen und die Tragheitsmomente 

 dieser Flachen und Linien berechnen. Wir 

 zerlegen dann nicht in Volumelemente, son- 

 dern in Flachen- oder Linienelemente. Wir 

 definieren die Dichte nicht durch Gleichung 36) 

 als Raumdichte, sondern als Flachendichte 

 Ok oder Liniendichte /Ik durch: 



Ok = : 



f 

 Ik 



S k 



.50) 



wobei m k die Masse des Elementes, f k und 

 Sk s iine Flachen- bezw. Langenausdehnung ist. 

 Wir erhalten dann fiir das Tragheitsmoment 

 der homogenen Flache bezw. Linie analog 

 Gleichung 41) die Gleichungen: 



= lim 2 k r k 2 f k 



k =o 



den Winkel a gegen die Achse geneigt ist 

 und ihr der Achse nachstgelegener Punkt 

 den Achsenabstand c hat, ist: 



0= m (3c 2 + 3 clsin a + I 2 sin2 a ). . . .56) 



9. Experimentelle BestimmUng von 

 Tragheitsmomenten. Nur bei einigen sehr 

 regelmaBig gestalteten Korpern laBt sich 

 das Tragheitsmoment berechnen. Bei an- 

 deren muB man es experimentell bestimmen. 

 Man verwendet dabei die im Abschnitt 7 

 aufgestellten Schwingungsformeln. Wir 

 haben zunachst einen Korper von unbe- 

 kanntem Tragheitsmoment 0, hangen ihn 

 an einen Faden und lassen ihn (wie im Ab- 

 schnitt 7 beschrieben) Torsionsschwingungen 

 ausfiihren; die Schwingungsdauer T der- 

 selben, die wir betrachten, ist nach Gleichung 

 30) gegeben durch 



und = h'm S k r k 2 s k 



51) 



Iii der Sprache der Integralrechmmg schreibt 

 man dafiir, wenn df und ds Flachen- bezw. Linien- 

 elemonte bedeuten: 



I r 2 df und 0=1 r *(ls 

 rj f/ 



,52) 



^ 

 D' 



dabei sind und D noch tmbekannt; wir 

 vermehren nun das Tragheitsmoment 

 um eiuen betrachtlichen, aber bekannten 

 Betrag 1? indem wir einen regelmiiBig 

 gestalteten Korper, dessen Tragheitsmoment 

 wir berechnen konnen, mit dem ersten 

 verbinden und mitschwingen lassen; die 

 Schwingungen werden nun langsamer, wir 

 beobachten die neue Schwingungsdauer T', 

 die durch 



T J =2n 



1/0+0! 



D 



Wir geben wieder die Resultate einiger 

 Berechnungen wieder : 



Das Tragheitsmoment einer Parallelo- 

 grammflache von den Seitenlangen a und b 

 und der Masse m in bezug auf eine Achse, 

 die durch den Mittelpunkt geht und auf 

 der Ebene des Parallelogramms senkrecht 

 steht, betragt: 



in bezug auf eine Achse, die durch den 

 Mittelpunkt geht und zur Seite b parallel 

 ist, betragt, wenn a der Winkel zwischen 

 den Parallelogrammseiten ist: 



0= 1 a 2 fsina) 2 54) 



O\ ' 



Fiir eine Dreiecksflache mit den Seiten 

 a, b, c in bezug auf eine Achse, die durch 

 den Schwerpunkt geht und auf der Ebene 

 des Dreiecks senkrecht steht, ist: 



m 



gegeben ist; aus den beiden letzten Glei- 



T 



5?) 



chungen folgt nun: 



2) 55) 







Fiir eine gerade Strecke von der Lange 1, 

 in bezug auf eine Achse, die mit ihr in der- 

 solben Ebene liegt, wobei die Gerade um 



= 



Hier sind auf der rechten Seite alle GroBen 

 bekannt; denn T' und T werden beobachtet, 

 und es kann das unbekannte Tragheits- 

 moment berechnet werden. 



10. Tragheitsmomente fiir verschiedene 

 Achsen desselben Korpers. Wenn uns das 

 Tragheitsmoment S eines Korpers in bezug 

 auf irgendeine durch den Schwerpunkt 

 gehende Achse gegeben ist, so laBt sich 

 das Tragheitsmoment a um jede beliebige 

 zur ersten parallelen Achse 21 leicht be- 

 rechnen. Es ist namlich, wenn die neue 

 Achse von der alten den Abstand a hat 

 und wir mit M die Gesamtmasse des Korpers 

 bezeichnen: 



.......... 58) 



Unter alien untereinander parallelen Achsen 

 hat der Korper das kleinste Tragheitsmoment, 

 wenn a = ist, d. h. wenn die Achse durch 

 den Schwerpunkt geht. 



Der Beweis fiir diese Beziehung wird 

 folgendermaBen gefiihrt: Wir denken uns den 

 Korper aus den punktformig konzentrierteu 



