1101) 



Drehbewegung 



Massen mj, m 2 . - . zusanimengesetzt, ihre Ab- 

 stande von der Schwerpunktsachse seien r 15 r, 

 usw., dann 1st: 



Jk 2 + 



OA= x k a+ 



Wenn wir dies in 61) und weiter in 60)~ein- 

 setzen, erhalten wir: 



0= I 



y K 2_{_ 



2 ] ........ 62) 



Die a, fi, y Richtungskosinusse einer Ge- 

 raden sind, gilt uach der analytischen Geo- 



Wir betrachten eine auf der Achse senkrecht 



stehende durch ink ge- 

 hende Ebene (Fig. 5). 

 Diese schneide die 

 Schwerpunktsachse im 

 'tg Punkte B, die Achse 



21 im Punkte A, im 

 Dreieck ABrnk sind uns 



fy\ N^ die Seiten AB= a und 



r to Bmk=rk bekannt, der Daher konnen wir statt 61) auch schreiben: 



ft n Winkel bei A heiBe (3k, ,a_ v krn , [,^, 2 _j_ v , a_j_ z\ ln zj_ fiz_i_ .2\_ 



dieEntfernungderMasse 

 mk von der neuen Achse 

 21 heiBe dk. Nun ist: 



metric die Regel 



63} 



Nach dem Cosinussatz der ebenen Trigono- 

 metrie ist aber in dem betrachteten Dreieck. 



dk 2 = a 2 + rk 2 2ark cos /3k 



folglich 



Denken wir uns den Schwerpunkt als Koor- 

 dinatenursprung, die Schwerpunktsachse als 

 z-Achse, die Richtung AB als x-Achse, so ist, 

 Wenn wir mit xk, yk, zk die Koordinaten der 

 Masse mk bezeichnen, Xk=rkcos|?k und wir 

 konnen die Gleichung schreiben: 



@a = a 2 M + @s 2amkxk ....... 59) 



-Smkxk ist aber (vgl. den Artikel ,,Bewegungs- 

 lehre u Abschnitt n) die x-Koordinate des 

 Schwerpunktes, also hier gleich Null, weil der 

 Schwerpunkt Koordinatenursprung ist. 



Wahrend wir hier die Veranderung des 

 Tragheitsmomentes eines Korpers betrach- 

 teteu, die durch Parallelverschiebung der 

 Achse entsteht, wollen wir jet?t fragen, wie 

 sich andert, wenn die Achse immer durch 

 eineu und denselben Punkt hindurch 

 geht und ihre Richtung andert. Wir denken 

 uns die Richtung der Achse durch die Winkel 

 gegeben, welche sie mit den drei von aus- 

 gehenden im Korper fixen Achsen ein- 

 schlieBt; die Cosinusse dieser Winkel seien 

 a, /?, y\ die Masse nik habe die Koordinaten 

 Xk, yk, Zk, ihr Abstand von der Achse sei 

 dk; dann ist das Tragheitsmoment in 

 bezug auf die genannte Achse: 



0=E k m k dk 2 ........... 60) 



Wir haben nun die dk 2 durch GroBen, 

 welche die Lage der Achse bestimmen, (a, 

 /#, y) und die GroBen mk, x k , yk, z k , welche 

 die Lagerung der Massen festlegen, aus- 

 zudriicken. Wir legen zu diesem Zweck 

 durch nik eine zur Achse normale Ebene, 

 welche die Achse in einem Punkt A trifft 

 und betrachten das rechtwinkelige Dreieck 

 OAm k . 



Es ist nach dem pythagoraischen Lehr- 

 satz: 



Wenn wir hier ausmultiplizieren, ausquad- 

 rieren, und umordnen, erhalten wir fur & 

 eine Funktion der a, /5, y, die eine quadra- 

 tische Form derselben (homogene Funktion 

 zweiten Grades) darstellt. Sie lautet nach 

 geeigneter Bezeichnung der Koeffizienten : 



Dabei ist: 



64) 



OA 2 



Nun ist offenbar: 



61) 



+y k 2 ) ....... 65) 



Zj = H k m k y k z k ; Z , = S k m k x k z k : 



Z 3 =H k m k x k y k .......... (.Hi) 



Die durch Gleichung 65) gegebenen GroBen 

 Wj, w 2 , (-}^ sind offenbar die Tragheits- 

 momente des Korpers in bezug auf die 

 x bezw. y- und z-Achse als Drehungs- 

 achsen. Die GroBen Zj usw. sind ahnlich 

 wie die Tragheitsmomente durch die Lage- 

 rung der Massen bestimmte GroBeu und 

 heifien D e v i a t i o n s m o m e n t e oder 

 aus spater zu besprechenden Griinden 

 Zentrifu galmomente. Die GroBen H 

 usw., Zj usw. sind fiir einen bestimmten 

 Korper durch die Wahl des Koordinaten- 

 systems bestimmte GroBen, durch Gleichung 

 64) ist dann das Tragheitsmoment des 

 des Korpers in bezug auf jede durch den 

 Koordinatenursprung gehende Achse gegeben. 

 ii. Tragheitsellipsoid. Haupttrag- 

 heitsachsen. Zentrifugalmomente. Uni 

 sich ein Bild von der Aenderung des Trag- 

 heitsmomentes mit der Richtung der Achse 

 zu machen, kann man folgendermaBen vor- 

 gehen: Man tragt auf jeder durch Ogehenden 

 Geraden eine Strecke auf, deren Liinge 

 gleich ist dem reziproken Werte der Wurzel 

 aus dem Tragheitsmoment des Korpers in 

 bezug auf diese Gerade als Achse. Die 

 Endpunkte dieser Strecken erfiillen eine 

 Flache, und jeder von aus zu dieser Flache 

 gezogene Halbmesser gibt nun, wenn <-> 

 das Tragheitsmoment fiir diesen Halbmesser 

 als Achse ist, durch seine Lange den Be- 



trag Wie sieht diese Flache nun aus? 

 1 & 



