Drehbewogung 



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Ein Punkt, der von den Abstarid - 



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und dessen Verbindungslinie mit zu Rich- 

 tungskosinussen die GroBen a, /?, y hat, be- 

 *itzt Koordinaten j, t), g, die gegeben sind 

 durch: 



.67) 



a p y 



Wenn wir nun Gleichung 64) auf beiden 

 Seiten durch dividieren und vermoge 

 Gleichung 67) die a, /?, y durch j, t), g aus- 

 driicken, so erhalten wir fiir die Koordinaten 

 der Punkte, aus denen die fragliche Flache 

 besteht, die Gleichung: 



68) 



Wenn wir hier j, 5, g als laufende Koordi- 

 naten auffassen, haben wir, wie die analytische 

 Geometrie lehrt, die Gleichung eines El- 

 lipsoides vor uns, das den Punkt zum 

 Mittelpunkt besitzt. Man nennt dieses 

 Ellipsoid, durch dessen Halbmesser die 



Tragheitsmomente (genauer gesagt 



. 

 fiir alle Richtungen gegeben sind, das Trag- 



heitsellipsoid des Korpers fiir den Punkt 0. 



Jedes Ellipsoid hat, wie aus der Geo- 

 metrie bekannt ist, drei aufeinander senk- 

 recht stehende Hauptachsen, von denen 

 auch zwei oder alle drei untereinander gleich 

 sein konnen. Man nennt die Hauptachsen 

 des Ellipsoids die Haupttragheitsachsen 

 des Korpers (fiir den Punkt 0) und die Trag- 

 heitsmomente in bezug auf diese Achsen 

 die Haupttragheitsmomente. Sind alle 

 drei Hauptachsen verschieden lang, so ist 

 die eine von ihnen der grb'Bte, eine andere 

 der kleinste Durchmesser des Ellipsoids. 

 DemgemaB sind die Haupttragheitsachsen 

 die Achsen des grb'Bten und des kleinsten 

 Tragheitsmomentes; dazu kommt noch die 

 auf beiden senkrechte Achse. 



Falls wir die Haupttragheitsachsen zu 

 Koordinatenachsen machen und die neuen 

 Koordinaten wieder mit j, t), g bezeichnen, so 

 lautet die Gleichung des Ellipsoids einfach 

 {wie in der analytischen Geometrie gelehrt 

 wird): 



l j?+0tf+@ s ? = l 69) 



Hier sind 0,, 2 , 3 , die Tragheitsmomente 

 in bezug auf die Koordinatenachsen, ztigleich 

 die Haupttragheitsmomente. Die Zentri- 

 fugalmomente sind offenbar Null. Es gilt 

 offenbar auch umgekehrt: Wenn die durch 

 Gleichung 66) definierten Zentrifugalmomente 

 verschwinden, so geht Gleichung 68) in 69) 

 iiber, d. h. die Koordinatenachsen sind 

 Haupttragheitsachsen. Wir konnen also 

 auch definieren: Drei aufeinander senk- 

 rechte Achsen, inbezug auf welche die 

 Zentrifugalmomente verschwinden, sind 

 Haupttragheitsachsen. 



Eine bestimmte Achse SC nennt man eine 

 Haupttragheitsachse, wenn die Zentrifugal- 

 momente Z x und Z 2 verschwinden, sobald 

 man 2t zur z-Achse macht. 



Wenn zwei Hauptachsen eines Ellipsoids 

 gleich lang sind, so haben wir ein Rotations- 

 ellipsoid vor uns; es sind dann auch alle 

 anderen in derselben Ebene liegenden Achsen 

 gleich lang und es konnen irgend zwei andere 

 aufeinander senkrecht stehende Durch- 

 messer ebensogut als Achsen gewahlt wer- 

 den. Dies tritt beim Tragheitsellipsoid 

 (Gleichung 69)) ein, wenn irgend zwei Haupt- 

 tragheitsmomente einander gleich sind. Wenn 

 z. B. v i = <-) z ist, so ist jeder andere in der 

 -, t-Ebene "gelegene Halbmesser ebensogut 

 Haupttragheitsachse und liefert dasselbe 

 Tragheitsmoment. Dieser Fall tritt z. B. 

 ein, wenn die Massen um die z-Achse sym- 

 metrisch gelagert sind. 



Wenn schlieBlich alle drei Tragheits- 

 momente einander gleich sind <-) l =<-) z =<-)^ 

 so wird aus dem Ellipsoid (Gleichung 69)) 



eine Kugel vom Halbmesser und samt- 



1 ' /} 



liche Achsen liefern gleiche Tragheitsmo- 

 mente und sind Haupttragheitsachsen. 



12. Arbeit und lebendige Kraft bei 

 der Drehbewegung. Wir fragen: Welche 



' Arbeit leisten die angreifenden Krafte, wenn 

 ein Korper sich um einen kleinen Winkel 99 

 dreht ? Die Arbeit bei Bewegung eines Massen- 



jpunktes ist (vgl. den Artikel ,,Arbeit") 

 das Produkt aus dem zuriickgelegten Weg 

 und der Kraftkomponente, die in die Rich- 

 tung des Weges fallt. Wenn der Korper 

 sich um den Winkel (p dreht, legt ein Massen- 

 punkt des Korpers, der die Entfernung r k 



I von der Achse hat, den Weg i^cp zuriick; ist 

 dieser Weg so kurz, daB wir ihn als eine 

 Gerade ansehen konnen, so steht diese 

 senkrecht auf der Achse und der Richtung 

 des kiirzesten Abstandes von der Masse 

 zur Achse; die in die Richtung des Weges 

 fallende Kraftkomponente ist also dieselbe, 

 die wir im Abschnitt 6 mit F k bezeichnet 

 haben: die Arbeit A, die bei der Drehung 

 um den Punkt 99 geleistet wird, ist also fur 

 alle Krafte gegeben durch: 



oder nach Gleichung 22) 



A=M<p 71) 



Diese Gleichung sagt uns: Arbeit Dreh- 

 i moment X Drehungswinkel ; sie geht wieder 

 ! aus der entsprechenden Beziehung fiir den 

 ! Massenpunkt hervor, indem man Kraft durch 

 Drehmoment und Weg durch Drehungs- 

 winkel ersetzt. 



Wir wollen nun den Satz fiir die Er- 

 haltung der Energie bei Drehbewegungen 

 herleiten: Wir multiplizieren Gleichung 23) 

 links und rechts mit dem sehr kleinen Winkel 



