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Drehbewegung 



99, um den sich der Korper unter dem EinfluB 

 des Drehmomentes M in der sehr kurzen | 

 Zeit T gedreht hat; wir erhalten dann: 



0/?<p = M<? ............ 72) j 



Fiir eine sehr kurze Zeit konnen wir die 

 Beschleunigung /5 als konstant ansehen, 

 also die Formeln 6) und 8), die fiir gleich- 

 formig beschleunigte Bewegungeu gelten, an- 

 wenden. 



Wenn wir gemaB Gleichung 8) auf der 



linkenSeite y == 2 /?T 2 und gemaB Gleichung 6) 

 fiT=a) setzen, so erhalten wir 



_0o;2=M^ ............ 73) 



Wir bezeichnen die GroBe -(-J 



!,... co n die Winkelgeschwindigkeiten, 

 , 9?i ; ... fp n die Drehungswinkel und M n , 

 !... die Drehmomente der auBeren Krafte 



in diesen Zeitpunkten sind, fur je zwei be- 



nachbarte Zeitpunkte: 



als die 



lebendige Kraft des sich drehenden Korpers ; 

 ihr Ausdruck geht wieder aus dem ent- 



sprechenden t ymv 2 fiir den Massenpunkt 



a 



hervor, indem man Masse durch Tragheits- 

 moment, Geschwindigkeit durch Winkel- 

 geschwindigkeit ersetzt. Die Gleichung 73) 

 sagt dann aus: Die von den auBeren Kraften 

 in einem kurzen Zeitraum geleistete Arbeit 

 ist gleich der Zunahme der lebendigen Kraft 

 der Korper wahrend desselben Zeitraumes. 

 Am Anfang der Bewegung wurde namlich bei 

 Verwendung derBeziehung a>=ftr sowohl die 

 Winkelgeschwindigkeit o>, als auch die leben- 

 dige Kraft als Null angenommen. Wir nehmen 

 jetzt an, der Korper habe schon zur Zeit t 

 den Drehungswinkel qp und die Winkel- 

 geschwindigkeit co , also die lebendige Kraft 



j- 0co 2 ; wir fragen nach seiner lebendigen 



a 



Kraft zur Zeit t 15 die von t den sehr kurzen 

 Abstand T hat; in dieser Zeit hat sich der 

 Korper um den kleinen Winkel <p = (cp^ qp ) 

 gedreht. An Stelle von Gleichung 72) tritt 

 jetzt 



..... 74) 



o^ 2 - - 0fo 2 = M 





und durch Addition aller dieser Gleichungen: 



n 9?o ) . 76) 



An Stelle von Gleichung 8) tritt 99, 9? 

 = CO O T+ fir 2 ; und an Stelle von Gleichung 6) 



a 



tritt /?T = ft>i &v setzen wir diese Bezie- 

 hungen in Gleichung 74) ein, so erhalten 

 wir: 



- ~ \ 



d. h. die wahrend einer beliebigen sehr 

 kurzen Zeit geleistete Arbeit ist gleich dem 

 Zuwachs der lebendigen Kraft wahrend dieser 

 Zeit. 



Wenn wir nun sehr viele Zeitpunkte t , 

 t l5 t 2 ...t n berechnen, von denen je zwei 

 den kleinen Abstand T haben, so konnen 

 wir die Gleichung 75) auf je zwei benach- 

 barte anwenden; wir erhalten dann, wenn o> , 



- 00)n 2 



LI L> 



d. h. wenn t,, und t n zwei beliebige Zeit- 

 punkte sind, so ist die Zunahme der lebendigen 

 Kraft wahrend dieser Zeit gleich der von 

 den auBeren Kraften geleisteten Arbeit. 



13. Freie Achsen. Reaktionskrafte der 

 Achsenlager. Wir denken uns nun eiuen 

 Korper, der sich um eine feste Achse, die 

 wir zur -Achse wahlen, gleichformig dreht. 

 Die Achse werde durch zwei Lager, das 

 eine im Punkte 0, das andere im Punkte A, 

 festgehalten. Fiir die gleichformige Rotation 

 ist /? = 0, also auch M = (Gleichung 23) T 

 d. h. sie kann sich ohne ein Drehmoment 

 der auBeren Krafte von selbst aufrecht- 

 erhalten, wie die gleichformig geradlinige 

 Bewegung eines Massenpunktes. Doch muB 

 hier wohl beachtet werden: aus Gleichung 

 23) folgt nur, daB zur Aufrechterhaltung der 

 Drehung kein Drehmoment um die -Achse 

 vorhanden sein muB, denn nur fiir diese 

 Achse verschwindet nach Abschnitt 6 bei 

 Erfiillung von Gleichung 23) die Summe 

 der Drehmomente aller wirklichen und 

 Tragheitskrafte. Nach dem d'Alembert- 

 schen Prinzip und den Regeln der Statik 

 muB aber diese Summe fiir jede beliebige 

 durch den Korper gelegte Achse verschwin- 

 den. Wir denken uns etwa durch den Punkt 

 (das linke Lager) eine |- und eine ^-Achse 

 gezogen, die im Korper fest sind und mit 

 C ein rechtwinkeliges Achsensystem bilden. 

 Nach dem d'Alembertschen Prinzip muB 

 fiir jede Bewegung auch z. B. in bezug auf 

 die |-Achse die Summe der Drehmomente der 

 auBeren und der Tragheitskrafte verschwin- 

 den. Wenden wir dies auf die gleichformige 

 Drehung um die -Achse an, so bedeutet 

 es: Es muB ein Drehmoment der auBeren 

 Krafte um die |-Achse (und ebenso um 

 die Ty-Achse) vorhanden sein, das dem Dreh- 

 moment der Tragheitskrafte in bezug auf 

 diese Achsen gleich ist (aber mit entgegen- 

 gesetztem Vorzeichen). Und nur, wenn das 

 Drehmoment der Tragheitskrafte bei gleich- 

 formiger Rotation um die -Achse auch 

 in bezug auf die - und ^-Achse verschwindet, 



