Drehbewegung 



IKtt 



brancht es gar kein Drehmoment auBerer j 

 Krafte, um die gleichformige Rotation auf- 

 recht zu erhalten. Wenn auch keine resul- 

 tierende Einzelkraft zur Aufrechterhaltung 

 der gleichfb'rmigen Rotation erforderlich ist, 

 so nennt man die betreffende Achse eine 

 freie Achse. 



Wir fragen nun: wie miissen die Massen 

 um die -Achse verteilt sein, damit sie 

 eine freie Achse ist? Die Antwort darauf 

 ist offenbar: erstens so, daB die Dreh- 

 momente der Tragheitskrafte in bezug auf | 

 die - und ^-Achse bei gleichformiger Drehung j 

 um die -Achse verschwinden. Wir denken 

 uns diese Tragheitskrafte wieder in 

 tangentiale und radiale Komponenten zer- 

 legt (wie im Abschnitt 6), die tangentialen 

 (G)eichung 16) verschwinden wegen ft = 0; 

 es kommen also nur die Zentrifugalkrafte 

 in Betracht; wenn die Masse nik die Ko- 

 ordinaten |k, r; k , tk hat, so lautet nach 

 Gleichung 17) die darauf wirkende zentri- 

 fugale Tragheitskraft: 



Achse also nur vor sich gehen, wenn dic- 

 Zentrifugalmomente Z t und Z 2 verschwinden. 

 d. h. wenn eine Haupttragheitsachse ist. 

 Jede freie Achse muB also eine Haupttrag- 

 heitsachse sein. 



Weiterhin muB aber, damit die C- Achse 

 eine freie Achse sein soil, bei gleichformiger 

 Rotation auch Gleichgewicht zwischen der 

 resultierenden auBeren Einzelkraft und der 

 aus denTragheitskraften resultierenden Einzel- 

 kraft bestehen. Bezeichnen wir die drei 

 Komponenten der ersteren mit Kg, K?j, Kf. 

 Die Tragheitskrafte liegen alle in der - r 

 ^-Ebene, auf die Masse nik wirkt tan- 

 gential die Tragheitskraft nikrk/j, radial 

 -nikrkw 2 , daraus folgt, daB die Kompo- 

 nente in der Richtung der - Achse: + co 2 mk<^k 

 + /?mk^k, in der Richtung der Ty-Achse 

 co 2 mk?yk /?nikk betragt. Die Bewegungs- 

 gleichungen lauten also: 



o> 8 2m k 



= m k r k co' ! ; 



ihre Richtung liegt parallel der -, ?y-Ebene; 

 um ihr Drehmoment um die |-Achse zu 

 finden, legen wir durch m k eine zur -Achse 

 normale Ebene, die natiirlich zur TJ-, 

 Ebene parallel ist. 



Die in diese Ebene fallende Komponente 

 der Zentrifugalkraft wird erhalten. indem 

 man diese mit dem Cosinus des Winkels 

 zwischen der Krai'trichtung rk und der i 



^-Achse. d. h. mit multipliziert; der! 



* K. 



Arm der Kraft ist der Abstand der Wirkungs- j 

 linie r k von der -Achse, also offenbar k, \ 

 so daB das Drehmoment der Tragheitskrafte i 

 in bezug auf die - Achse den Wert nik^kCkCo 2 

 hat. Wenn wir das Drehmoment der auBeren 

 Krafte in bezug auf die -Achse mit M& be- 



zeichnen. so muB bei gleichformiger Rotation 

 um die -Achse mit der Winkelgeschwindig- 

 keit co die Gleichung bestehen: 



ikCiT 77) 



Analog geht aus der Forderung das Gleich- 

 gewicht zwischen dem Drehmoment M und 



den Tragheitskraften in bezug auf die r\- Achse 

 hervor: 



M^ = aiSkm k &Ck ......... 78) 



Dazu kommt wegen /?=0 fur die -Achse: 

 ^M^ = .............. 79) 



Die Koeffizienten von to 2 sind aber nach 

 Gleichung 66) nichts anderes als die Zentri- 

 fugalmomente Z x und Z 2 , woraus auch der 

 Sinn dieses Namens hervorgeht. Wir kb'nnen 

 also auch kurz schreiben: 



M^^ZX, M =Z 2 w2, M^ = 0.. 



Kraftefrei kann die Rotation um die 



= 0, 



Fiir die gleichformige Rotation ist /?=0 und 

 wenn sie kraftefrei vor sich gehen soil, 

 auch Ki^K^^O; wenn das bei nicht ver- 



schwindendem co moglich sein soil, miissen 

 ^nikCk und JTnikWk verschwinden, d. h. 

 (vgl. den Artikel ,,Bewegungslehre u ) der 

 Schwerpunkt des Korpers muB auf der 

 -Achse liegen. 



Das Ergebnis ist: Eine freie Achse ist 

 eine durch den Schwerpunkt des Korpers- 

 gehende Haupttragheitsachse. 



Nur fiir eine freie Achse gilt das dem 

 Tragheitsgesetz analoge Gesetz: erteilt man 

 dem Korper eine Winkelgeschwindigkeit 

 co und wirken keine auBeren Krafte auf 

 ihn, so behalt er diese Winkelgeschwindigkeit 

 um dieselbe Achse bei und der Drehungs- 

 vektor bleibt nach Lange und Richtung 

 konstant. 



Falls die Drehungsachse keine freie 

 Achse ist, so konnen die zur Aufrechterhal- 

 tung der Winkelgeschwindigkeit notigen 

 Krafte von den Lagern, in denen die Achse 

 lauft, ausgeiibt werden; dann iibt aber die 

 Achse wahrend der Drehung auch eine 

 Riickwirkung auf die Lager aus, sie ,,schlagt'" 

 gegen die Lager. Die Starke dieses ,,"Schla- 

 gens" ist durch resultierende Einzelkraft 

 und Drehmoment der Tragheitskrafte ge- 

 geben, ist also um so starker, je groBer die 

 Zentrifugalmomente in bezug auf die Achse 

 und der Abstand des Schwerpunktes von 

 der Achse ist. 



Jede Symmetrieachse (Figurenachse 1 ) ei- 

 nes Korpers ist offenbar eine freie Achse. 

 Um sie verlauft eine Rotation ohne Bean- 

 spruchung der Lager. 



14. Kraftefreie Bewegung eines starren 

 Korpers um einen festen Punkt. Erhaltung 



