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Drehbewegung 



des Drehimpulses. Wenn ein Punkt des 

 Korpers festgehalten wird, so laBt sich 

 (nach Abschnitt 2) sein augenblicklicher 

 Bewegungszustand durch Angabe der momen- 

 tanen Drehungsachse und der Winkelge- 

 scliwindigkeit um dieselbe, d. h. durch An- 

 gabe des Drehungsvektors (den wir uns 

 stets durch gezogen denken) angeben. 

 Wenn die anfangliche Drehungsachse eine 

 t'reie Achse war, so bleibt der Drehungs- 

 vektor bei Abwesenheit iiuBerer Krafte er- 

 halten; dies tritt z. B. ein, wenn der Korper 

 em um eine Figurenachse symmetrischer 

 ist, der feste Punkt auf der Figurenachse 

 liegt und man ihm eine anfangliche Winkel- 

 geschwindigkeit um diese Achse erteilt. 

 Die Kraftefreiheit laBt sich praktisch am 

 leichtesten dadurch realisieren, daB man 

 zum festen Punkt den Schwerpunkt wahlt, 

 weil dann die Resultierende der auf alle j 

 Punkte des Korpers wirkenden Schwerkrafte 

 durch die Befestigung des Punktes aufgehoben 

 wird. 



Falls aber die anfangliche Drehungsachse 

 kerne freie Achse ist, so wird auch ohne 

 Einwirkung auBerer Krafte der Drehungs- 

 vektor sich nach Lange und Richtimg andern. 

 Wir fragen nun, nach welchem Gesetz dies 

 geschieht. Als Ergebnis wird sich heraus- 

 stellen: Ein Korper, der um einen 

 festen Punkt sich ohne EinfluB 

 auBerer Krafte nur unter der Wir- 

 kung seiner Anfangsgeschwindigkeit 

 bewegt, tut dies so. daB sein Dreh- 

 impuls in bezug auf den Punkt 

 (vgl. den Artikel ,,Bewegungslehre", Ab- 

 schnitt 21) konstant bleibt. 



Wir suchen nun den Satz zu beweisen. 

 Der Drehimpuls des Korpers in bezug auf 

 O ist die Vektorsumme aus den Dreh- 

 impulsen der einzelnen Massenpunkte und 

 der Drehimpuls einer solchen Masse ist 

 gleich dem Vektor ihrer Flachenge- 

 schwindigkeit multipliziert mit der GroBe 

 der Masse. Die Flachengeschwindigkeit haben 

 wir im Artikel ,,Bewegungslehre u (Ab- 

 schnittg) als den Quotienten aus demFlachen- 

 inhalt des in der kleinen Zeit T vom Lage- 

 vektor r uberstrichenen Dreiecks und dieser 

 Zeit T kennen gelernt. Dieses Dreieck kann 

 man auch als das durch den Lagevektor 

 und den Verschiebungsvektor, wenn diese 

 hintereinander aufgetragen werden, be- 

 "timmte Dreieck ansehen. Die Division 

 (lurch T kb'nnen wir so ausfiihren, daB wir 

 die Lange des Verschiebungsvektors durch T 

 dividieren und seine Richtung beibehalten. 

 Dieser neue Vektor geht fur sehr kleine x 

 {nach ,,Bewegungslehre", Abschnitt 7) 

 in den Geschwindigkeitsvektor b liber und 

 wir konnen kurz sagen: Die Flachengeschwin- 

 tligkeit ist durch den Flacheninhalt des 

 Dreiecks gegeben, das wir erhalten, wenn 



der Lagevektor r von aus und im 

 Endpunkt von r der Geschwindigkeits- 

 vektor b aufgetragen wird: die Richtung 

 des Vektors f der Flachengeschwindigkeit 

 steht senkrecht auf der Ebene des Dreiecks 

 und zeigt dorthin, woher gesehen die Drehung 

 von r in die Richtung von d, wenn sie auf 

 dem kurzesten Wege erfolgt, im Sinne des 

 Uhrzeigers geschieht. Diesen Zusammenhang 

 zwischen f, r und b driickt die Vektorberech- 



nung kurz durch die Formel 



82) 



aus. 



Wir fragen nun: Wenn die Flachenge- 

 schwindigkeit im Zeitpunkt t durch f 

 = [r ti ] gegeben ist, wie groB ist ihr Wert ^ 

 im Zeitpunkt t l5 wenn der Lagevektor jetzt 

 r : und der Geschwindigkeitsvektor bj ist. 

 Es ist natiirlich fi=[r 1 b 1 l; doch wollen wir 

 den Wert von fj durch r und die Beschleu- 

 nigung m ztir Zeit t ausdriicken. Der 

 Zeitraum t , t l sei sehr klein; dann gelten 

 die Formeln (vgl. den Artikel ,,Bewegungs- 

 lehre", Abschnitt 8, Gleichung 34)): 



Wenn wir nun demgemaB, um das Dreieck 

 [tjbj zu zeichnen, erst den Vektor r , dann 

 von seinem Endpunkt den Vektor ^ (ti 1 ) 

 zeichnen, deren Summenvektor bilden, von 

 dessen Endpunkt b und weitertt> (t t 1 ) auf- 

 tragen, den Summenvektor der letz.teren bilden 

 und das Dreieck aus den beiden Summen- 

 vektoren betrachten, so sehen wir, daB es 

 sich fiir kleine tj 1 von dem Dreieck [r &o] 

 nur um ein Dreieck unterscheidet, das analog 

 aus r und rt) (ti 1 ) gebildet ist, so daB wir 

 schreiben kb'nnen: 



fi ^fo+ [r h> ] (ti 1 ) ....... 83) 



Wenn wir den Drehimpuls des be- 

 treffenden Massenpunktes mit SR bezeichnen, 

 so ist 



9l = mf .............. 84) 



gegeben durch 



9*1-9*0 



-m[r h) ]. 



,85) 



Diese Aenderung ist selbst ein Vektor. 

 Seine Richtung steht senkrecht auf dem 

 Lagevektor r n (der die Entfernung der 

 Masse m von gibt) und der Beschleunigung 

 tt) . Man sieht leicht, daB der Betrag von 

 m[r tD ] nichts anderes ist als das Drehmoment 

 der Tragheitskraft - mit) der Masse m in 

 bezug auf die Richtung des durch Gleichung 

 85) gegebenen Vektors als Drehungsachse. 

 Diese Richtung steht namlich senkrecht auf r 

 und hJ , der Betrag von [r tu ] ist aber nichts 

 anderes als der Flacheninahlt des Dreiecks 

 aus beiden Vektoren, also gleich der Lange 

 von r multipliziert mit der vom Endpunkt 

 von tt> auf r gefallten Hohe; diese Hohe 



