Drehbewegung 



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multipliziert mit m ist also die Komponente j 

 der Tragheitskraft senkrecht zu r a und zur 

 Achse; also ist, weilr der Arm der Kraft ist, 

 das Produkt das genannte Drehmoment. 



Wir betrachten nun beliebig viele Massen 

 nij, m 2 usw., ihre Flachengeschwindigkeiten 

 in bezug auf seien f l5 [ 2 ... usw., also 

 ihre Drehimpulse die Vektoren: 9l 1 =m 1 f 1 , 

 U? 2 =m 2 f 2 usw. Der resultierende Dreh- 

 impuls ist dann nach Gl. 84) und 82) der 

 Summen vektor : 



r " 1 r n r on\ 



mj^itjj- - m 2 [r.,t) 2 ]-j- 8b) 



Wenn nun die Beschleunigungen 1x4, ft> 2 

 usw. sind. so ist die Aenderung des Dreh- 

 impulses im Zeitraum T, dividiert durch 

 diesen Zeitraum nach Gleichung 85) gegeben 

 durch 



<YJ ft! 



Jl trtn r 



Flacheninhalt, dessen drei Projektionen auf 

 die Koordinatenebene sind: 



r fy \> & &> ^TJ ^I. 

 daher wegen Gleichung 89), wenn wir mit 

 der Masse m multiplizieren und diese ein- 

 zelnen Drehimpulse aller Massen summieren: 



o nijf^tt)!] + m 2 [r 2 tt> 2 ]-|- 87) 



t 



d. h. durch die Resultierende der Dreh- 

 momente der Tragheitskrafte aller Massen. 

 Wenn nun keine auBeren Krafte wirken, 

 so bewegt sich der Korper nach dem d' Ale in- 

 fo ertschen Prinzip so, daB die Tragheits- 

 knifte einander das Gleichgewicht halten, daB 

 also die Resultierende der Drehmomente 

 aller Tragheitskrafte verschwindet. Dann^ 

 verschwindet die rechte Seite von Gleichung i 

 $7) und es folgt: 



on m ftfi^ 



d. h. der Vektor des Drehimpulses behalt, 

 solange keine auBeren Krafte wirken, den 

 Wert bei. den er zur Zeit t n hatte ; das ist die 

 Verallgemeinerung des Tragheitsgesetzes auf 

 Drehbewegungen. Sie fiihrt nur fiir freie 

 Achsen auf den Drehungsvektor, im all- ! 

 gemeinen, wie wir eben gesehen haben, auf 

 den Vektor des Drehimpulses. 



Wir wollen nun die Grb'Be und Richtung 

 des Drehimpulses bereclmen, wenn der 

 Drehungsvektor durch seine drei Kompo- 

 nenten p. q, r nach den drei Koordinaten- 

 achsen gegeben ist. 



Wir betrachten zuerst die Drehung um 

 die -Achse ; die Winkelgeschwindigkeit ist 

 hier p. Die Masse m mit den Koordinaten |, 

 .77, hat den Abstand l / ^ 2 +C 2 von dieser ! 

 Achse, ihre Geschwindigkeit hat also den 

 Betrag pl^ 2 +C 2 5 die Richtung derselben, > 

 steht senkrecht auf der |-Achse und der 

 von m zur Achse gezogenen Normalen; die 

 drei Komponenten des Geschwindigkeits- 

 vektors sind also nach der analytischen i 

 Geometrie 



t>g = 0, & ?j = - p, t> g : = p>/ 89) 



Da die Komponenten des Lagevektors , 

 -77, sind, so hat das aus diesen beiden Vek- 

 toren gebildete Dreieck [rt], durch welches 

 der Drehimpuls bestimmt ist, nach den 

 .Regeln der analytischen Geometrie einen 



Handworterbuch der Xaturwissenschaften. Band II 



und wenn wir die Bezeichnungen der Glei- 

 chung 65) und 66) einfiihren, sind die drei 

 Komponenten des Drehimpulses, wenn die 

 Drehung nur um die -Achse erfolgt: 



p0 1? -pZ 3 , -pZ 2 90) 



Analog erhalten wir, wenn nur die Drehung 

 q um die ?/-Achse, bezw. nur die Drehung r 

 um die -Achse vorhanden ware: 



-qZ 3 , q0 2 , -qZj 1 qn 



bzw. --rZ a , -rZj, r0 3 / 



Und fiir die Komponenten 3h f 3L, ^ 



des Drehimpulses einer beliebigen durch die 

 Komponenten des Drehungsvektors p, q, r 

 gegebenen Drehung erhalten wir durch ein- 

 fache Addition die in Gleichung 90) und 91) 



.92) 



gegebenen Werte: 



rvj rr rj 



Ji ^ - c 'i ]j sQ ^oi 



ri = - Z 3 p+ 2q z x r 



9L= -Z 2 p-Z iq +0 3 r 



* / 



Diese Formeln lehren uns, den Impuls- 

 vektor aus dem Drehungsvektor zu berechnen. 

 Sie vereinfachen sich, wenn wir, wie im 

 folgenden stets, die Haupttragheitsachsen 

 durch als Koordinatenachsen wahlen 

 wollen; dann verschwinden die Zentrifugal- 

 momente und es wird: 



Der Betrag des Drehimpulses 

 durch : 



91 = 



ist gegeben 



|SR!==V g *+ 



Die Cosinusse A, /, v, die seine Richtung 

 mit den Koordinatenachsen einschlieBt, sind 

 wegen Gleichung 93) und 94) 



A= , ]Lt = 3, v= * 3 - 95) 



Der Drehungsvektor fallt also nur dann in 

 die Richtung des Drehimpulses, wenn 



iP : 2<1 : at -= p:q:r. 

 Das ist entweder dadurch erfiillbar, daB 

 1 ='6/ 2 =w 3 wird oder dadurch, daB p=q=0, 

 ohne Bedingung fiir die <-> (natiirlich auch 

 analog fiir die anderen Komponenten). 

 Aber diese Falle bedeuten nichts anderes, 

 als daB die Drehungsachse eine Haupttrag- 

 heitsachse ist. Und dann folgt aus der Er- 

 haltung des Drehimpulses die Erhaltung 

 des Drehvektors. 



15. Kraftefreie Bewegung eines sym- 

 metrischen Kreisels. Wir nehmen nun an, 

 der Korper sei um die C-Achse symmetrisch 



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