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in Gleichung (97) bedeutet S DI wieder nur das 

 Drehmoment der iiufieren Krafte. 



17. Anwendung des Impulssatzes auf 

 den symmetrischen Kreisel. Kreiselwir- 

 kung. Wir denken uns nun einen um eine 

 Figurenaehse symmetrischen Korper, der um 

 diese Achse ein betrachtliches Tragheits- 

 moment besitzt; einen solchen Korper nennt 

 man einen Kreisel. Wir denken uns den- 

 selben so befestigt, daB der Schwerpunkt 

 im Raume fixiert ist, und der Kreisel sich 

 in jeder damit vereinbaren Lage im Gleich- 

 gewicht befindet. Das Gleichgewicht ist 

 dann ein indifferentes. Eine derartige 

 Befestigung kann durch die sogenannte 

 Cardanische Aufhangung erzielt werden, 

 die aus einem festen und zwei beweglichen 

 Ringen besteht. 



Wir nehmen nun an, der Kreisel habe 

 anfangs eine betrachtliche Winkelgeschwin- 

 digkeit um die Figurenaehse. Es wird sich 

 wahrend dieser Eigendrehung von den 

 drei Eulerschen Winkeln (vgl. Abschnitt 2) 

 nur der Winkel q> andern; seine Aenderung 

 pro Zeiteinheit (fiir eine sehr kleine Zeit- 

 strecke) wollen wir mit <p bezeichnen ; es ist 

 dies dann die Winkelgeschwindigkeit der 

 Eigendrehung und der Drehimpuls 9t hat 

 nach Gleichung 96) den Wert 



9K== 0(p 98) 



Wir lassen nun in einem Punkte der Figuren- 

 aehse, der die Entfernung s vom festen 

 Punkt hat, eine senkrecht zur Achse wir- 

 kende Kraft P durch eine kurze Zeitstrecke T 

 hindurch angreifen. Diese Kraft tibt ein 

 Drehmoment aus, das den Kreisel um eine 

 senkrecht zur Figurenaehse und zur Kraft- 

 richtung liegende durch gehende Achse 

 zu drehen sucht. Das Drehmoment selbst 

 hat den Betrag M, wo 



M==Ps 99) 



Wir fragen: Wie muB diese Kraft be- 

 schaffen sein, damit der Betrag der Eigen- 

 drehung erhalten bleibt und nur die Rich- 

 tung der Figurenaehse sich andert? 



Wir wollen etwa annehmen, die Figuren- 

 aehse liege anfangs in der im Raum festen 

 x-Achse und sie soil nun um einen 

 kleinen Winkel in eine in der xy-Ebene lie- 

 gende Richtung gedreht werden. Dabei wird 

 sich der Eulersche Winkel y> andern, 

 und zwar wird seine Aenderung in der kleinen 

 Zeit T, w T enn w r ir wieder mit w seine Aende- 

 rung pro Zeiteinheit bezeichenn, durch y>T 

 gegeben sein. Nach Verlauf dieses Zeit- 

 raumes soil also die Figurenaehse den Winkel 

 ipr mit ihrer urspriinglichen Lagt einschlieBen. 

 Der Vektor des Drehimpulses wird, da die 

 Winkelgeschwindigkeit um die -Achse die 

 um die z-Achse (die durch y gegeben ist) 

 weit iiberwiegen soil, noch immer nahezu mit 

 der Figurenaehse zusammenfallen, seine 



Lange beibehalten, also ebenfalls eine Dre- 

 hung um den Winkel tpt in der xy-Ebene 

 ausgefiihrthaben. Es fragt sich nun: Welchen 

 Vektor mussen wir zum urspriinglichen 

 Impulsvektor addieren, um den neuen zu 

 erhalten ? Wenn etwa die Strecken ORj 



i und OR 2 die beiden Lagen darstellen (wobei 

 die Pfeile wie immer dorthin zeigen, woher 

 gesehen die Drehung im Sinne des Uhr- 

 zeigers erfolgt), so stellt die Strecke R X R 2 

 den Vektor dar, der uns den Zuwachs des 

 Drehimpulses in der Zeit T gibt. Wegen der 

 Kleinheit dieser Strecke ko'nnen wir sie mit 

 dem Kreisbogen identifizieren, der um 

 mit dem Radius OR t von Rj nach R 2 be- 

 schrieben wird. Die Lange dieses Bogens ist 

 aber, weil der Radius durch Gleichung 98) ge- 

 geben ist und der Winkel ry betragt: @(py)T. 



! Nach dem Impulssatz (Gleichung 97)) ist 

 aber der Zuwachs des Drehimpulses gleich 

 dem Drehmoment der auBeren Krafte multi- 

 pliziert mit der Wirkungszeit, also 



MT = 



und wenn wir der Einfachheit halber den 

 Drehinipiils der Eigendrehung, den Eigen- 

 drall, wie man oft kurz sagt, mit N be- 

 zeichnen, so wird: 



M = =Nv> 100) 



Diese Gleichung besagt: um die Figuren- 

 aehse des Kreisels um einen Winkel yr 

 in der Zeit T zu drehen, bedarf es eines Dreh- 

 momentes, der dem Produkt aus dem ,,Eigen- 

 drall" des Kreisels und dem in der Zeit- 

 einheit zuriickzulegenden Winkel gleich ist. 

 Noch wichtiger ist aber, festzustellen, um 

 welche Achse dieses Drehmoment wirkt. 



! Nach dem Impulssatz muB die Achse dieses 

 Drehmoments mit der Richtung des Zusatz- 

 impulses zusammenfallen. Das ist aber die 

 Richtung I^R.,, und sie steht also senkrecht 

 auf der Figurenaehse und der Achse z, um 

 welche die Figurenaehse gedreht werden 

 soil. Das muB daher auch die Achse des 

 Drehmomentes M tun; sie muB also mit 

 der y-Achse zusammenfallen (da ja die 

 Figurenaehse anfangs mit der x-Achse zu- 

 sammenfiel). Wenn die x-Achse nach rechts, 

 die z-Achse nach oben, die y-Achse nach 



; vorne zeigt, so muB die Kraft P, die ein 

 solches Drehmoment hervorbringen soil, nach 

 unten ziehen. Um also die Figurenaehse 

 eines sich schnell drehenden Kreisels etwas 

 nach vorne (gegen die y-Achse zu) zu richten, 

 muB man nach unten ziehen. 



Daraus folgt aber weiter: w r enn man 

 diesen Zug nach unten nicht ausiibt, und 

 den Kreisel doch in der genannten Art zu 

 richten sucht, wird seine Figurenaehse sich 

 nach oben (gegen die z-Achse zu) zu richten 

 streben, und diesem Streben muB durch das 

 auBere Drehmoment widerstanden werden, 

 d. h. also : Wenn man zu der Eigendrehung 



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