Drehbewegung 



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wenu die Winkelgeschwindigkeit immer mehr 

 und mehr erhoht wird, werden immer kleinere 

 und kleinere Teilchen gegen den auBersten 

 Rand getrieben. Auf diesem Prinzip beruht 

 das sogenannte Zentrifugieren vonFliissig- 

 keiten, in denen feste Teilchen eingebettet 

 sind. Es gelingt, die Teilchen ihrer GroBe 

 nach zn sortieren. 



23. Gleichgewicht eines Systems von 

 Korpern relativ zu einem gleichformig 

 rotierenden Bezugskorper. Abplattung 

 der Erde. Wir nehmen nun an, der Bezugs- 

 korper S' (vgl. den Artikel ,,Bewegungs- 

 lehre" Abschnitte I und II, 2), relativ zu 

 dein wir nun die Bewegungen besclireiben 

 wollen, sei in gleichformiger Rotation um seine 

 -Achse begriffen. Das ruhende Koordinaten- 

 system S denken wir uns mit einem Funda- 

 ment alkorper (vgl. den Artikel ,,Bewe- 

 gungslehre" Abschnitt 15) zusammen- 

 fallend. Jeder Massenpunkt, der relativ 

 zu S' ruht, beschreibt offenbar relativ zu S 

 eine Kreisbahn um die - Achse. Wenn die 

 Winkelgeschwindigkeit von S' den Wert co 

 hat, so hat eine in S' im Abstand r von der 

 C-Achse ruhende Masse relativ zu S die 

 gegen die -Achse gerichtete ,, absolute" 

 Beschleunigung rco 2 . Es muB claher, um 

 diese ,, relative Ruhe" der Masse m zu erzielen 

 (nach Abschnitt 22) auf die Masse m eine 

 auBere gegen die Achse zu gerichtete Kraft 



o o . 



vom Betrage mco' 2 r wirken; denn diese erzielt 

 gerade die Beschleunigung co 2 r relativ zu S, 

 d. h. Ruhe relativ zu S'; um das Gleichgewicht 

 der Massen relativ zum rotierenden Bezugs- 

 system aufrecht zu erhalten, miissen daher 

 Kraft e vom genannten Betrage wirken. 

 Wenn aber eine auBere Kraft P zur Achse hin 

 auf die Masse m wirkt, so kann sich diese 

 nur in einer durch die Gleichung P=mrco 2 

 gegebene Entfernung r im Gleichgewicht 

 relativ zu S' erhalten. Wenn wir nun em 

 ganzes System von Massen haben, deren k te m k 

 sei, die in der Entfernung ri< von der Achse 

 sich befinclet und auf welche die Kraft Pk 

 gegen die Achse zu radial wirkt, so kann 

 Gleichgewicht relativ zu S' nur bestehen, 

 wenn die Beziehuneen 



P k m k r k <o 2 = 0. 



.102) 



fur alle Massen erfiillt sind, d. h. aber, die 

 auBeren Kraft e und die Krafte m k rkco 2 , 

 die Zentrifugalkrafte, miissen einander 

 aufheben. Wenn S' ruhen wiirde, miiBten 

 die Krafte P k fiir sich einander aufheben. 

 Man kann also das Gleichgewicht relativ zu 

 einem rotierenden Bezugskorper genau wie 

 das relativ zu einem abslout ruhenden 

 behandeln, wenn man einfach zu den 

 ,,wirklichen" Kraft en Pk (wie z. B. Schwer- 

 kraft, Druck usw.) noch die fingierten 

 Zentrifugalkrafte hinzufugt. Diese sind also 

 Recluktionskrafte im Sinne der Be- 



wegungslehre (vgl. den Artikel ,,Bewegungs- 

 lehre" Abschnitt 27). 



Wir lassen z. B. ein GefaB mit Wasser 

 rotieren und fragen, welche Stellung der 

 Wasserspiegel einnimmt, sobald gleich- 

 formige Rotation der ganzen Wassennasse 

 samt dem GefaB eingetret.en ist. Das Wasser 

 ist hier das System S'. Der Wasserspiegel 

 stellt sich im ruhenden Zustand bekanntlich 

 normal zurResultierendender an Ber en Krafte. 

 Das ist im ruhigen Zustand die Schwerkraft. 



Nach dem vorhergehenden finden wir die 

 Gleichgewichtslage des Wasserspiegels im 

 rotierenden Zustand, wenn wir zur Schwer- 

 kraft noch die Zentrifugalkraft hinzufiigen. 

 Wenn die Rotation um die vertikale Mittel- 

 linie stattfindet, so ist die Zentrifugalkraft 

 horizontal gerichtet. Mit der vertikalen 

 Schwerkraft nach der Parallelogrammregel 

 zusammengesetzt ergibt sie eine Resul- 

 tierende, die schrag gerichtet ist und die 

 um so mehr von der Vertikalen abweicht, 

 je gro'Ber die Zentrifugalkraft ist, also je 

 mehr man gegen den Rand des GefiiBes 

 kommt. Daher stellt sich auch der Wasser- 

 spiegel schrag gegen die Horizontale und 

 zwar gegen den Rand zu immer steiler. 



Eine Anwendung im groBen bildet die 

 Erklarung fiir die Gestalt des Erdkorpers. 

 Wenn wir uns die Erde noch fliissig denken, 

 so haben wir eine Menge von Massenpunkten 

 voruns, dieeinander nach dem Newtonschen 

 Gravitationsgesetz anziehen. Wir fragen nun 

 nach den Gleichgewichtslagen dieser Teilchen 

 relativ zu einem um die Erdachse rotierenden 

 Bezugssystem. Es miissen sich offenbar 

 die Teilchen so einstellen, daB Gravitations- 

 krafte und Zentrifugalkrafte einander das 

 Gleichgewicht halten. 



Mit dieser Frage beschaftigt sich eine umfang- 

 reiche Theorie, die Lehre von den ,,Gleichgewichts- 

 figuren rotierender Fliissigkeiten". 



Ohne die Erddrehung wiirde die Erde 



i eine kugelf Qnnige Gestalt angenommen haben, 



I da die Oberflache uberall senkrecht auf der 



gegen den Mittelpunkt gerichteten Gravita- 



tionskraft stehen miiBte. Fiigen wir aber 



noch die Zentrifugalkraft hinzu, so muB die 



Oberflache uberall senkrecht auf der Resul- 



i tierenden aus Gravitationskraft und Zentri- 



jfugalkraft stehen. Diese Resultierende 



weicht natiirlich um so mehr von der radialen 



Richtung ab, je groBer die Zentrifugalkraft 



ist und je mehr deren Richtung von der 



radialen abweicht. Am Pol entfallt die 



Zentrifugalkraft vollstandig, am Aequator 



ist sie am grb'Bten, aber radial gerichtet. 



An diesen beiden Punkten bleibt also die 



Oberflache senkrecht zur Richtung gegen 



den Mittelpunkt, in den iibrigen Punkten 



stellt sie sich aber schief ein und zwar, weil 



die Zentrifugalkraft gegen den Aequator zu 



