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Dielektrizitat cler Kristalle 



W. Voigt auf Grand der phanomenologi- 

 schen Methode gegeben. 



6. Phanomenologische Theorie der 

 piezoelektrischen Erscheinungen. Im 

 Inneren des Kristalls ziehen wir von einem 

 Punkte aus drei zueinander senkrechte 

 Achsen OX, OY, OZ. Die in dem Kristall 

 vorhandene elektrische Erregung kann nun 

 charakterisiert werden durch drei elek- 

 trische Momente, welche in der Volumein- 

 heit erregt werden, und deren elektrische 

 Achsen beziehungsweise parallel sind mit 

 OX, OY, OZ. Wir bezeichnen sie mit p 15 

 p 2 , p 3 . 



Wir haben nun diese elektrischen Mo- 

 mente mit den Parametern in Beziehung zu 

 setzen, durch welche die im Inneren des 

 Kristalls herrschenden Drucke oder die 

 daselbst vorhandenen Deformationen be- 

 stimmt werden. Urn diese Grb'Ben zu finden, 

 grenzen wir im Inneren des Kristalls ein 

 kleines rechtwinkliges Prisma ab, dessen 

 Kanten dx, dy, dz den Koordinatenachsen 

 parallel sind. Die von den angrenzenden 

 Teilen des Kristalls auf die Flachen dieses 

 Prismas ausgeiibten Dracke stehen im all- 

 gemeinen nicht zu ihnen senkrecht. Wir 

 konnen sie daher zerlegen in je drei zu den 

 Koordinatenachsen parallele Komponenten. 

 Auf die zur X-Achse senkrechte Flache 

 dy, dz wirke so die zur X-Achse parallele und 

 zur Flache normale Druckkomponente X x , 

 sowie die zu den beiden anderen Achsen 

 paralleleu tangentialen Druckkomponenten 

 Yx und Z x . Auf die Flache dz, dx wirke 

 die Normalkomponente Y y , die tangentialen 

 Komponenten X y und Z y . Ebenso seien 

 die Druckkomponenten fiir die Flachen dx.dy 

 gleich Z z , X z , Z z . Die Anzahl der Kompo- 

 nenten ist zunachst gleich 9; sie reduziert 

 sich aber auf 6, da man zeigen kann, daB 

 Y z =Zy, Z X =X Z , X y =Y x ist. Es bleiben 

 also nur die 6 Parameter X x , Y y , Z z , Y z , 

 Z x , X y . 



Die Parameter der Deformationen er- 



geben sich aus der Betrachtung desselben 



Prismas dx, dy, dz. Infolge der Deformation 



andern sich die Langen seiner Kanten. Die 



Verhaltnisse, in welchen die Verlangerungen 



von dx, dy, dz zu den urspriinglichen Langen 



dx, dy, dz selber stehen, bezeichnet man als 



die Dilatationen x x , y y , z z , nach den Rich- 



tungen der Koordinatenachsen. AuBerdem 



aber andern sich die Winkel des Prismas. 



Nach der Deformation sei der Winkel der 



Kanten dy, dz gleich n/2(p, der von dz, dx 



"h Tc/2 #, der von dx, dy gleich n/2 t/;. 



Die Winkel q>, %, \p stellen drei weitere 



Parameter der Deformation dar, welche im 



!'i> in oiden mit y z , z x , x y bezeichnet werden. 



lliornach wird auch die Deformation durch 



6 Parameter charakterisiert; die Dilatationen 



x x , y y , z z , die Winkelanderangen y z , z z , x y . 



Die 12 auf diese Weise eingefuhrten 

 Parameter der Deformationen und der Drucke 

 sind aber naturlich nicht voneinander un- 

 abhangig. Denn wir konnen die Drucke 

 als Ursache der Deformationen oder auch 

 umgekehrt die Deformationen als Ursache 

 der Drucke auffassen. Wir bestimmen 

 diese Zusammenhange nach der Methode 

 der Phanomenologie durch die beiden Glei- 

 chungssysteme: 



-x x =s 11 X x +s 12 Y y +s 13 Zz+s 14 Y z +s t5 -' 

 Z x +s 16 X y . 



Z X +S 16 Xy. 



1 



S 4 JL 



8) 



Z X +S, 6 Xy. 



und umgekehrt durch Auflosung dieser 

 Gleichungen nach den unbekannten X x , Y y , 



Z~V 7 "V 

 Z, i z , /J X , -A y . 



-Xx^CuXx+C^Vy+CigZz+C^Vz+Cjs- 



Z x C 16 Xy. 



-Yy c 22 x x +c 22 Y y +c, 3 z z +c 24 Y z +c 15 - 



Zx+C 26 Xy. 



-Y z =c 41 x y +c 42 Y y +c 43 z z +c 44 Y z +c 15 - 



Z X -f- C 4 gXy. 



In diesen Gleichungen bedeuten die c 

 und die s konstante Koeffizienten, deren 

 Wert durch die Natur des betreffenden 

 Kristalls bedingt wird. Wir bezeichnen die 

 Koeffizienten s als die Elastizitatsmo- 

 duln, die Koeffizienten c als die Elasti- 

 zitatskonstanten. Aus dem Zusammen- 

 hange der beiden Gleichungssysteme ergibt 

 sich, daB wir die Elastizitatskonstanten 

 durch gewisse Determinantenverhaltnisse der 

 Elastizitatsmoduln ausdrucken konnen. Die 

 Anzahl der Konstanten s oder c belauft sich 

 zunachst auf je 36. Durch eine Anwendung 

 des Energieprinzips kann gezeigt werden, 

 daB die Zahl der Koeffizienten in Wirklich- 

 keit auf 21 sich reduziert. Es wird namlich 

 Sik gleich Ski und c ik =Ckj. Weitere Re- 

 duktionen werden bedingt durch die Sym- 

 metrieverhaltnisse der Kristalle. 



Nach diesen Vorbereitungen kommen 

 wir nun zu unserer eigentlichen Aufgabe, 

 der Aufstellung eines Zusammenhanges zwi- 

 schen den piezoelektrischen Momenten und 

 den sie erzeugenden Drucken oder Defor- 

 mationen. Wir beniitzen auch hier die pha- 

 nomenologische Methode, indem wir die in 

 der Volumeinheit erregten elektrischen Mo- 

 mente gleich linearen Funktionen entweder 

 der Parameter des Drucks oder der Para- 

 meter der Deformationen setzen. Wir erhalten 

 also wieder ein doppeltes System von Glei- 

 chungen, namlich: 

 -pi=d 11 X x +d 12 Y y +d 13 Zz+d 14 - 



. . .9) 



Yy + d o 5 Zx + d le 



3=d 31 X x +d 32 

 Y z +d 35 Zx+d 36 X y . 



