Drehbewegung 



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Die tangentiale Komponente der Beschleu- 

 nigung riihrt von der Aenderung der GrbBe 

 der Geschwindigkeit her. Seien v t und v 2 

 die Geschwindigkeiten des betret'fenden sub- 

 stantiellen Punktes zur Zeit t x bezw. t 2 , 

 dann ist die Tangentialbeschleunigung die 

 Aenderung des Betrages der Geschwindig- 

 keit pro Zeiteinheit, also gegeben durch 



Vo Vi C0 2 



w t <-o - - = r 



T t 



2 -t , \ ni n 



(nach ul. 4) 



1 2 tj 



Wenn wir noch den Grenzwert des 

 Quotienten nehmen, der fiir sehr kurze 

 Zeitstrecken sich ergibt, folgt wegen 

 Gleichung 9) 



w t ==r/8 .............. 12) 



d. h. die Tangentialbeschleunigung berechnet 

 sich aus der Winkelbeschleunigung, wie die 

 Geschwindigkeit v aus der Winkelgeschwin- 

 digkeit. 



z. Drehungen eines Korpers um einen 

 festen Punkt. Polodie und Herpolodie, 

 Drehungsvektor. Wir nehmen nun an, 

 ein substantieller Punkt unseres starren 

 Korpers sei im Ratini f estgehalten ; dann 

 hat natiirlich der Ko'rper eine viel grbBere Be- 

 wegungsfreineit als bei der Drehung um 

 eine feste Achse; er kann sich z. B. um jede 

 durch den festgehaltenen Punkt gehende 

 Gerade als Achse drehen. Um die Lage eines 

 derartigen Korpers festzulegen, denken wir 

 uns ein im Raum festes rechtwinkeliges 

 Koordinatensystem, das den festgehaltenen 

 Punkt zum Ursprung hat und dessen 

 Achsen die x-,y-,z- Achse heiBen mb'gen; 

 um immer ein konkretes Bild vor Augen zu 

 haben, wollen wir uns die z-Achse immer 

 vertikal denken. Wir denken uns ferner 

 ein im Kbrper angebrachtes substantielles 

 Koordinatensystem (ein mit dem Korper 

 starr verbundenes System), das ebenfalls 

 den festgehaltenen Punkt zum Ursprung 

 habe; die Achsen mb'gen die -, 77-, - Achse 

 heiBen. Wir werden uns bei den Anwendungen 

 haufig den Korper als Rotationskb'rper 

 denken; dann sei immer die - Achse seine 

 Symmetrieachse oder Figurenachse. Wenn 

 wir fur das folgende ein anschauliches Bild 

 haben wollen, werden wir auch immer gut 

 tun, diese Annahme zugrunde zu legen. 

 Wenn der Korper irgendeine Lage annimmt, 

 wobei nur der Ursprung der beiden Koordi- 

 natensysteme immer zusammenfallen muB, 

 werden die l^-Ebene und die xy-Ebene 

 sich langs einer Geraden schneiden, die 

 wir die Knotenlinie fiir die betreffende 

 Lage des Korpers nennen wollen. Diese 

 Lage wird nun durch drei Winkel festgelegt: 



1. den Winkel cp zwischen -Achse und 

 Knotenlinie 



2. den Winkel y zwischen x-Achse und 

 Knotenlinie 



3. den Winkel & zwischen z -Achse und 

 -Achse 



13) 



Falls nur der Winkel 9? sich andert, fiihrt 



der Korper, da ja die Knotenlinie in der 



^-Ebene liegt, eine Drehung um die 



-Achse (Figurenachse) als feste Achse 



aus, wir nennen diesen Winkel daher 



Winkel der ,,Eigendrehung". Falls nur 



der Winkel ip sich andert, fiihrt der Korper, 



da sowohl x-Achse als Knotenlinie senk- 



recht auf der z-Achse stehen, eine Drehung 



\ um diese als feste Achse aus ; in unserer 



I anschaulichen Vorstellung beschreibt also 



| die Figurenachse einen Kegelmantel um 



'die Vertikale; da eine solche Bewegung 



Prazession genannt wird, nennen wir diesen 



Winkel y den Prazessionswinkel; falls sich 



! schlieBlich nur der Winkel $ andert, so 



j dreht sich der Korper um die Knotenlinie 



als feste Achse, im anschaulichen Bilde neigt 



I sich die Figurenachse gegen die Vertikale 



! und von ihr weg, was Pendelbewegung 



heiBt und weshalb wir den Winkel $ den 



Pendelungswinkel nennen. 



Jede Lage eines um einen festen Punkt 

 drehbaren Korpers laBt sich also durch 

 drei Zahlen festlegen; der Korper hat drei 

 Grade der Bewegungsfreiheit wie ein im 

 Raum frei beweglicher materieller Punkt. 

 Die drei von uns definierten Winkel heiBen 

 die Eulerschen Winkel. Nach dem Vorher- 

 gehenden ist sicher, daB man einen um einen 

 festen Punkt drehbaren Korper durch drei 

 nacheinander um verschiedene Achsen aus- 

 gefiihrte Drehungen in jede beliebige Lage 

 bringen kann; wenn eine bestimmte Lage 

 durch die zugehbrigen Eulerschen Winkel 

 gegeben ist, braucht man den Korper nur 

 nacheinander um die - Achse, die z-Achse 

 | und die Knotenlinie um den durch die 

 Winkelangaben festgesetzten Betrag zu 

 drehen. 



Man kann aber noch mehr zeigen. Man 

 j kann namlich durch eine einzige Drehung 

 um eine feste Achse, wenn Achse und Be- 

 trag der Drehung nur geeignet gewahlt 

 | sind, den Korper in jede beliebige Lage brin- 

 gen. Urspriinglich falle das System ,?, 

 mit dem System x, y, z zusammen; die 

 Endlage wollen wir dadurch festlegen, daB 

 wir die Punkte A t und E 1 des Raumes an- 

 1 geben, an welchen sich nach der Bewegung 

 ;die substantiellen Punkte des Korpers be- 

 j finden, die sich anfangs auf der x- bezw. 

 y-Achse in der Entfernung 1 vom Ursprung 

 ! 0, d. h. in den Punkten A(x=l, y=z=o) und 

 B (x=o, y = l, z = o) befanden. Diese Punkte 

 A x und B! miissen natiirlich, damit sie 

 iiberhaupt trotz der Starrheit des Korpers 

 mbgliche Endlagen von A und B sind, 

 von den Abstand 1 und voneinander 

 den Abstand AB haben. Wenn das aber 

 der Fall ist, so ist durch die Angabe von 

 Aj und B! die Lage des Korpers festgelegt; 

 denn wir kennen, den festen Punkt mit- 



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