Drehbewegtmg 



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betreffenden Zeitpunkt. Denken wir uns 

 fur jeden Zeitpunkt der Bewegung den 

 Drehungsvektor im Raum gezeichnet. so 

 bilden die Endpunkte dieser Vektoren eine 

 Kurve. die man Herpolodiekurve nennt; 

 sie liegt offenbar auf dem Herpolodiekegel. 

 Markieren wir uns hingegen fur jeden Zeit- 

 punkt den substantiellen Punkt des Kb'r- 

 pers, mit dem der Endpunkt des Drehungs- 

 vektors eben zusammenfallt. so bilden alle 

 diese Punkte eine starr mit dem Kb'rper ver- 

 bundene substantielle Kurve, die wir Polo- 

 diekurve nennen; sie liegt offenbar auf 

 dem Polodiekegel. 



Der Drehungsvektor fiir einen bestimmten 

 Zeitpunkt sei etwa (Fig. 1) durch die Strecke 



| jeder Anfangslage durch eine Drehung urn 

 eine feste Achse hervorgehen kann. Dreht 

 sich also ein Kb'rper erst um eine feste 

 Achse 31 ! um den Winkel <p lt dann um 

 eine Achse 91 2 um den Winkel <p 2 , so kann 

 dasselbe Resultat auch durch eine einzige 

 geeignet gewahlte feste Achse 21 um einen 

 geeignet gewahlten Winkel <p erzielt werden. 

 Die neue Drehung heifit die aus den beiden 

 ersten zusammengesetzte oder resul- 

 tierende Drehung. Es ist leicht einzu- 

 sehen, daB es im allgemeinen nicht gleich- 

 giiltig ist, in welcher Reihenfolge die Drehun- 

 gen um die Achsen 2^ und 21 2 stattfinden. 

 Der Kb'rper werde z. B. nacheinander um 

 zwei zueinander parallele Achsen gedreht, u. zw 



Fig. 1. 



OA gegeben; M sei ein substantieller Punkt 

 des Kb'rpers: wir fragen: Wie groB ist die 

 Geschwindigkeit des substantiellen Punktes 

 in diesem Zeitpunkt? Wir bezeichnen mit 

 CD den Betrag der Drehungsgeschwindigkcit; 

 dann ist o> = UA; der Abstand des Punktes 

 M von der Strecke OA sei MP; dann ist die 

 Geschwindigkeit von M nach Gleichung 4) 

 durch das Produkt OA.MP gegeben; das 

 ist aber gleichzeitig der doppelte Flachen- 

 inhalt des Dreiecks 0AM. Die Richtung 

 des Geschwindigkeitsvektors t> des Punktes 

 M steht senkrecht auf der Ebene dieses 

 Dreiecks. 



Wenn also der Drehungsvektor (wir 

 nennen ihn it) gegeben ist, so findet man 

 den Geschwindigkeitsvektor jedes beliebigen 

 Punktes M, indem man M mit den Endpunkten 

 von u verbindet. to hat dann zur Liinge 

 den doppelten Flacheninhalt dieses Drei- 

 ecks, zur Richtung die Normale auf dessen 

 Ebene. Der in einein sehr kleinen Zeitraum 

 T vom Punkt M zuriickgelegte Weg ist 

 gleich der Geschwiudigkeit (d. h. dem Flachen- 

 inhalt des Dreiecks AOM) nmltipliziert mit 

 dieser Zeit T; diese Verschiebung von M 

 kann also auch durch einen Vektor dar- 

 gestellt werden, dessen Richtung mit b 

 iibereinstimmt. dessen Lange aber rmal 

 grbBer ist. 



3. Zusammensetzung von Drehungen. 

 Wir haben gesehen, daB jede Endlage aus 



A, 



Fig. 2. 



zuerst um die Achse 2^ um 180, dann um 

 die Achse 2t 2 ebenfalls um 180. Wir be- 

 trachten etwa (Fig. 2) das Schicksal eines sub- 

 i stantiellen Punktes M, der anfangs gerade 

 in der Mitte zwischen den beiden Achsen 

 (in M) sich befindet; nach der Drehung um 

 21 ! wird er in M, und nach der darauf folgen- 

 den Drehung um 91 2 sich in M 2 befinden. 

 Fiihren wir aber zuerst die Drehung um 21 2 

 und dann um 91 1 aus, so kommt M zuerst 

 nach M t ' und dann nach M 2 ', einer Endlage. 

 die von M 2 ganz verschieden ist. 



Die Formeln fiir die aus zwei beliebigen 

 Drehungen zusammengesetzten Drehungen 

 sincl ziemlich verwickelt. Sie werden aber 

 recht einfach und durchsichtig, wenn die 

 Drehungen nur um sehr kleine Winkel er- 

 folgen. 



Wir betrachten zunachst die Zusammen- 

 setzungen von Drehungsgeschwindigkei- 

 ten um verschiedene Achsen. Wir batten 

 etwa zwei Drehungen durch ihre Drehungs- 

 vektoren u t und u 2 gegeben; jeder dieser 

 Drehungsvektoren bestimmt Achse und Win- 

 kelgeschwindigkeit einer Drehung; durch 

 jede dieser Drehungen wird jedem substan- 

 tiellen Punkte des Kbrpers eine bestimmte 

 Geschwindigkeit erteilt. Wir fragen: Welche 

 Geschwindigkeit haben die substantiellen 

 Punkte des Kbrpers, wenn die beidiesen beiden 

 Drehungen entstehenden Geschwindigkeiten 

 zusammengesetzt werden. Nach dem in der 



