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Drehbewegimg 



,,Bewegungslehre" (Abschnitt 10) Gesag- 

 ten setzen sich ftir jeden substantiellen Punkt 

 die Geschwindigkeitsvektoren nach der Paral- 

 lelogrammregel zu einer resultierenden Ge- 

 schwindigkeit zusammen. Daratis ergibt sich 

 der wichtige Satz: Die resultierenden Ge- 

 schwindigkeiten, die bei zwei Dre- 

 hungen it, und it 2 sich ergeben, be- 

 deuten fiir den Korper wieder eine 

 Drehung um eine feste Achse, die 

 durch einen Drehungsvektor gegeben 

 ist, der durch Addition von u x und 

 iu nach der Parallelogrammregel ent- 

 steht. Oder kurz: Die Resultierende zweiei 

 Drehungen ergibt sich aus den Einzel- 

 drehungen, indem man die Parallelogramm- 

 regel auf die Drehungsvektoren anwendet. 



Man beweist diesen Satz f olgendermafien : 

 Wir haben zwei Vektoren it x und u 2 und 

 den Summenvektor aus beiden it gegeben. 

 (Fig. 3.) Alle drei gehen von aus und enden 



Fig. 3. 



in A! bezw. A 2 und A; sie mb'gen Drehungs- ; 

 vektoren bedeuten. Wir beweisen nun: 

 Irgendein substantieller Punkt M, der in der j 

 Ebene der Vektoren liegt, erhalt durch die 

 Drehung u allein dieselbe Geschwindigkeit 

 wie durch iij und it, zusammengenommen. 

 Die Geschwindigkeiten des Punktes M bei j 

 den genannten Drehungen sind nach dem j 

 im Abschnitt 2 (am Ende) Gesagten durch 

 die Flacheninhalte der Dieiecke OMA, bezw. 

 OMA, und OMA gegeben. Nun gilt nach 

 einem geometrischen Satze ftir diese Flachen- 

 inhalte: 



OMA = OMA X +OMA 2 



Dieser auch sonst verwendete (leicht durch 

 planimetrische Ueberlegungen beweisbare) geo- 

 metrische Satz lautet: Wenn ein Punkt M auBer- 

 halb eines Parallelogramms liegt, so hat das mit 

 M als Scheitel iiber der Diagonale als Basis er- 

 richtete Dreieck denselben Flacheninhalt wie die 

 mit M als Scheitel iiber den Seiten errichteten 

 Dreiecke zusammengenommen. 



Die Richtung der Geschwindigkeit ist 

 bei alien drei Drehungen dieselbe, namlich 

 senkrecht zur Zeichenebene; daher addieren 

 sich einfach die Betrage der Geschwindig- 

 keiten und die Drehung it ist tatsachlich 



die Zusammensetzung der Drehungen it x 

 und it 2 . 



Was fiir Drehungsgescbwindigkeiten gilt, 

 gilt nun auch fiir die Drehungs winkel, wenn 

 sie sehr klein sind. Denn nach Gleichung 5a) 

 ist der Drehungswinkel <p, der wahrend 

 der kleinen Zeit T zuriickgelegt wird, wenn 

 a> die Winkelgeschwindigkeit ist: 



<J9 = ft)T 



Es multiplizieren sich also einfach alle Dre- 

 hungsvektoren mit derselben Konstanten T; 

 die Parallelogrammregel bleibt erhalten. 

 Wenn wir also die wahrend der Zeit r 

 zurilckgelegten Drehungswinkel samt der 

 Achsenrichtung analog wie die Geschwindig- 

 keiten durch Vektoren darstellen, so ad- 

 dieren sich zwei solche, wie man kurz sagt, 

 ,,unendlich kleine" Drehungen wie die Vek- 

 toren, durch welche sie dargestellt sind: 

 es kommt also bei der Zusammensetzung 

 unendlich kleiner Drehungen nicht mehr 

 aaf die Keihenfolge der Einzeldrehungen an. 

 Wie man Drehungsgeschwindigkeiten zu- 

 sammensetzt, kann man sie natiirlich auch. 

 genau wie Vektoren (z. B. Krafte oder Ver- 

 schiebungen) in Komponenten zerlegen. Die 

 hauiigste Zerlegung besteht darin, daB man 

 den Drehungsvektor, der den momentanen 

 Bewegungszustand des Korpers darstellt. 

 in drei zueinander senkrechte Komponenten 

 zerlegt, welche die Richtung der im Korper 

 festen Koordinatenachsen haben. Es seien 

 a) die momentane Winkelgeschwindigkeit, 

 a, /?, j die Winkel, welche die momentane 

 Diehungsachse mit der -, ^-, ^-Achse 

 einschlieBt, so sind die Komponenten des 

 Drehungsvektors, die wir mit p, q, r be- 

 zeichnen: 

 p=cy cos a, q= ft) cos ft. r= co cos y . . . 15) 



Wenn die Eulerschen Winkel als Funk- 

 tionen der Zeit gegeben sind, so lassen sich 

 aus diesen Bewegungsgleichungen die Kom- 

 ponenten des Drehungsvektors berechnen. 



4. Spezielle Bewegungsformen. Pra- 

 zession. Wir betrachten jetzt wieder der 

 Anschaulichkeit halber den Korper als Ro- 

 tationskorper, der die C-Achse zur Figuren- 

 achse hat; die z-Achse denken wir uns 

 vertikal. Ein sehr einfacher Typus von 

 Bewegungen bseteht darin, daB die t-Achse 

 in irgendeiner vertikalen Ebene Schwingungen 

 nach der Art eines Pendels ausfiihrt. Hier 

 ist unter den Eulerschen Winkeln nur der 

 Pendelungswinkel veranderlich. und zwar 

 jindert er sich im einfachsten Fall wie der 

 Pendelungswinkel eines mathematischen Pen- 

 dels. Es konnen auch komplizierte Pendel- 

 bewegungen auftreten. wenn die Figuren- 

 achse (t-Achse) nicht in einer festen Ebene 

 schwingt, sondern wahrend der Schwingung 

 einen Kegelmantel beschreibt. Wir haben 

 dann ein sogenanntes konisches Pendel vor 



