Drehbewegung 



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uns. Hier sind der Pendelungs- und Pra- 

 zessionswinkel veriinderlich. 



Eine andere sehr wichtige Bewegungs- 

 form ist die sogenannte regulare Pra-| 

 zession. Sie besteht darin, daft der Korper 

 gleichformig (d. h. mit konstanter Winkel- 

 geschwindigkeit) urn die Figurenachse ro- 

 tiert. wahrend diese Achse selbst gleich- 

 formig einen Kegelmantel um die Vertikale 

 (z-Achse) beschreibt. Diese Bewegung setzt 

 sich offenbar in jedem Moment aus zwei 

 Drehungen um zwei verschiedene Achsen 

 zusammen. Erstens die Eigenrotation (ihre 

 Winkelgeschwindigkeit sei etwa oj), am die i 

 'C- Achse, und eine Rotation um die z- Achse; 

 ihre Winkelgeschwindigkeit heiBe etwa //. 

 Man nennt ju die Prazessionsgeschwindig- 

 keit, to die Eigenrotationsgeschwindigkeit. 

 Den resultierenden Drehungsvektor fur jeden 

 Zeitpunkt erhalt man, wenn man den Vektor 

 der Eigenrotation (Richtung der -Achse, 

 Lange co> und den Vektor derr Prazession 

 (Richtung der z-Achse, Lange ju) nach der 

 Parallelogrammregel zusammen setzt. Der 

 resultierende Drehungsvektor beschreibt of 

 fenbar selbst einen Kreiskegel, den Her- 

 polodiekegel um die z-Achse. 



Wenn die Figurenachse nicht einen wirk- 1 

 lichen Kreiskegel (fiir den der Pendelungs- 

 winkel konstant blribt) beschreibt, sondern 

 iiber die regulare Prazession sich Pendelungen 

 von kleiner Amplitude lagern, welche die 

 Figurenachse nie weit von der Prazessions- 

 bewegung entfernen. so heiBt die so ent- 

 stehende Bewegung pseudoregulare Pra- 

 zession, und die Pendelungen selbst heiBen 

 Nutation en. Man kann diese Bewegung 

 durch den bloBen Augenschein oft schwer 

 von der regularen Prazession unterscheiden. 



5. Allgemeine Bewegung eines starren 

 Korpers im Raum. Wenn kein Punkt des 

 starren Korpers im Raum festgehalten wird, i 

 sondern voile Bewegungsfreiheit herrscht, so 

 liiBt sich eine bestimmte Lage des Korpers fol- 

 gendermaBen festlegen: wir denken uns ein 

 im Raum festes Koordinatensystem (x, y, z) 

 und fassen ein fiir allemal einen bestimmten 

 substantiellen Punkt des Korpers ins Auge 

 und bestimmen zuniichst die Koordinaten 

 x, y, z dieses Punktes (er heiBt etwa M). 

 ' Wenn diese festgelegt sind, kann sich der 

 Korper noch immer um M drehen; um die 

 Lage weiter festzulegen, denken wir uns 

 den Punkt M als Ursprung eines mit dem 

 Korper fest verbundenen Koordinatensystems 

 {, ri, ) und geben die Lage dieses Systems 

 zu dem im Raum festen (x, y, z) durch die \ 

 Eulerschen Winkel, wie im Abschnitt 2 

 beschrieben wurde, an. 



Um' ganz den Fall dieses Abschnittesa zuhaben, 

 denken wir uns durch M zu den im Raume festen 

 Achsen Parallele gezogen; dann haben das feste 

 und bewegliche System auch denselben Ursprung. 



Zur Festlegung der Lage eines starren 

 Korpers im Raum benotigen wir also sechs 

 Grb'Ben: die drei Koordinaten x, y, z des 

 Punktes -M und die drei Eulerschen Winkel 

 q>* $, y. Wir haben also ein System von 

 sechs Freiheitsgraden vor uns (vgl. den 

 Artikel ,,Bewegungslehre" Abschnitt 12). 



B. Dynamik. 



6. Drehung um eine feste Achse. 

 Drehmoment. Tragheitsmoment. Ein 

 starrer Korper, den wir uns aus einer 

 Reihe starr verbundener Massenpunkte mit 

 den Massen m 1? m., m 3 . . . bestehend vor- 

 stellen, moge sich unter der Einwirkung 

 irgendwelcher Krafte um eine feste Achse 

 drehen. Die Krafte, die wir uns durch 

 die Vektoren RI, R 2 , R 3 ... nach Richtung 

 und GroBe gegeben denken, mo'gen an den 

 Massenpunkten angreifeu : und zwar Rj an 

 m t usw. Wir fragen: Wie wird sich der 

 Korper unter dem EinfluB dieser Krafte dre- 

 hen ? Wir beantworten die Frage mit Hilfe des 

 d'Alembertschen Prinzips (vgl. den Ar- 

 tikel ,,Bewegungslehre'' Abschnitt 23); 

 gemaB diesem bewegt sich der Korper so, 

 daB in jedem Zeitpunkt Gleicbgewicht zwi- 

 schen den auBeren Kraften und den durch 

 die Bewegung geweckten Tragheitskraften 

 besteht. Wir miissen daher zunachst die 

 Tragheitskrafte berechnen. Die auf die 

 Masse m wirkende Tragheitskrat't 1st durch 

 einen Vektor gegeben, dessen Betrag dem 

 Produkt aus Masse und Beschleunigung 

 gleich ist und dessen Richtung der Beschleu- 

 nigung entgegengesetzt ist. Die Masse nij 

 moge den Abstand r t von der Achse haben: 

 die Winkelgeschwindigkeit des Korpers sei 

 co, die Winkelbeschleunigung /?; wir denken 

 uns dann den Beschleunigungsvektor der 

 Masse m l5 die ja einen Kreis vom Radius r t 

 beschreibt. in eine tangentiale und eine 

 normale Komponente zerlegt. Ihre Werte 

 sind aus Abschnitt i, Gleichung 11) und 

 12) zu entnehmen. Die Komponenten der 

 Tragheitskratt erhalt man, indem man diese 

 Beschleiinigungen mit der Masse m t multi- 

 pliziert und mit negativen Vorzeichen ver- 

 sieht. Bezeichnen wir die tangentiale Kom- 

 nonente der auf die Masse nij wirkenden 

 Tragheitskraft mit P tl , die Normalkompo- 

 nente mit P n i, so ist: 



P tl = -nijr^ 16) 



P nl = -m.r^ 2 17) 



Die negativen Vorzeichen bedeuten, daB 

 die tangentiale Komponente der Winkelbe- 

 schleunigung entgegenwirkt, die Normal- 

 komponente aber ein Streben der Masse 

 von der Achse weg, eine Fliehkraft (Zentri- 

 fugalkraft) darstellt. Diese Tragheitskrafte 

 sollen nun den auBeren Kraften das Gleich- 

 gewicht halten. In der Lehre vom Gleich- 



