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Drehbewegunt;- 



gewicht (vgl. den Artikel Gleichgewicht") : 

 wird gezeigt, daB Krafte, die an einem Korper 

 angreifen, der sich nur um eine feste Achse 

 drehen kann, einander dann das Gleich- 

 gewicht halten, wenn die Summe der Dreh- 

 momente aller Krafte um diese Achse 

 Null ist. Das Drehmoment oder statische 

 Moment einer Kraft ist aber nichts anderes 

 als das Produkt aus dem kurzesten Abstand 

 der Wirkungslinie der Kraft von der Achse j 

 und ihrer zu diesem Abstand und zur Achse ! 

 senkrechten Komponente. Dieser Abstand 

 heiBt der Arm der Kraft, ein vom Hebel 

 entliehener Ausdruck, wie ja auch der 

 gauze Lehrsatz nur eine Verallgemeinerung ; 

 des Hebelgesetzes ist. Man versieht ein | 

 Drehmoment mit den positiven oder uegativen 

 Vorzeichen, je nachdem die Kraft den Korper 

 im Sinne oder entgegen dem Sinne des 

 Uhrzeigers zu drehen strebt, wobei natiir- 

 lich vorher die Kichtung festgesetzt werden 

 muB, in dei man auf die Drehung blickt. 

 Wir berechnen nun das Drehmoment 

 der auBeren Krafte. Wir zerlegen jede der- i 

 selben zunachst in zwei Komponenten, eine | 

 parallel zur Achse, die zweite senkrecht zur 

 Achse. Die letztere zerlegen wir weiter in 

 eine Komponente in der Richtung des 

 Normalabstandes rk der Masse nik von der 

 Achse, die zweite senkrecht dazu. Man sieht 

 leicht, daB nur diese senkrecht zur Achse 

 und senkrecht zum Abstande der Masse von 

 der Achse (also zum Kadius der Drehung) 

 stehenden Komponenten ein Drehmoment 

 liefern. Wir wollen diese Kraftkomponenten, 

 die offenbar in die Richtung der Tangente, 

 also der augenblicklichen Geschwindigkeits- 

 richtung fallen, mit F,, F 2 usw. bezeichnen. 

 Die entsprechenden Kraftarme sind dann 

 rj, r 2 ... und das Drehmoment Mk der 

 kten Kraft: 



M k = r k F k ............. 18) 



Von den Tragheitskraften liefern offenbar 

 nur die Tangentialkomponenten (16) ein 

 Drehmoment; und zwar lautet das Dreh- 

 moment Mk der k ten Tragheitskraft P t k: 



Mk= -m k r k 2 ........... 19) 



das Tragheitsmoment des Kbrpers i'tir 

 diese Achse. Wenn wir noch die Summe 

 der Drehmomente aller auBeren Krafte. das 

 resultierende Drehmoment, mit M bezeichnen 



2>Mk = D k rkF k = M 22) 



so kbnnen wir die Bewegungsgleichung 20) 

 des Kbrpers kurz schreiben: 



0j8=M 23) 



Und dies ist die Grundgleichung der ganzen 

 Lehre von der Drehbewegung. Sie ist ganz 

 analog gebaut wie die Newtonsche Grund- 

 gleichung fiir die Bewegung eines Massen- 

 punktes (vgl. den Artikel ,,Bewegungs- 

 lehre"), nur steht bei der Drehbewegung 

 anstatt Beschleunigung Winkelbeschleuni- 

 gung. anstatt Kraft Drehmoment und an- 

 statt Masse Tragheitsmoment. Dieses letzte 

 ist also das Analogon zur Masse, also zum 

 Tragheitswiderstande eines materiellen Punk- 

 tes gegenuber einer Aenderung seiner Ge- 

 schwindigkeit. 



Wenn man in Gleichung 23) die Winkel- 

 beschleunigung /? nach Gleichung 9") durch 

 die Winkelgeschwindigkeiten o) und CO L zu 

 den benachbarten Zeiten t und t r aus- 

 driickt, erhalt man die Naherungsgleichung: 



Nach dem d'Alembertschen Prinzip 

 muB die Bewegung so stattfinden, daB 

 diese beiden Aiten von Kraften einander das 

 Gleichgewicht halten, also: 



M 1 +M 2 + .... + M 1 +M 2 + . =0 

 oder nach Einsetzen der Werte 18) und 19) 

 (m^ + m 2 r 2 2 + . . .)P=T 1 F 1 + r 2 F 2 + . .20) 



Man nennt das Produkt aus dem Betrage m k 

 eirer Masse und dem Quadrate ihres Ab- 

 standes r k von der Achse ihr Tragheits- 

 moment fur diese Achse und die Summe 

 der Tragheitsmomente aller Massen 



+ m 2 r 2 2 . . .= Z k m k r k 2 == . . .21) 



d. h. die Aenderung der Winkelgeschwindig- 

 keit, die ein gegebenes Drehmoment er- 

 zeugt, ist um so kleiner, je grb'Ber das Trag- 

 heitsmoment des Ko'rpers ist. Wenn wir 

 z. B. einem Korper, der um eine Achse 

 drehbar ist, eine sehr groBe Anfangsge- 

 schwindigkeit erteilen, und ihn dann sich 

 selbst iiberlassen, so wirkt keine andere 

 auBere Kraft auf ihn als die Reibung im 

 Achsenlager, eventuell noch die Luftreibuug. 

 Unter dem EinfluB des Drehmomentes 

 dieser Reibungskrafte wird seine Winkel- 

 geschwindigkeit allmahlich abnehmen, aber 

 je groBer das Tragheitsmoment des Korpers 

 i ist, desto langer wird es dauern, bis seine 

 Geschwindigkeit auf unmeBbar kleine Be- 

 trage herabsinkt. Will man also. daB die 

 Anfangsgeschwincligkeit etwa eines rotieren- 

 den Maschinenteiles sich auch ohne auBere 

 Krafte (z. B. liber den toter Punkt hinaus) 

 erhalt, so muB man sein Tragheitsmoment 

 sehr groB machen, also die Massen sehr groB 

 machen und weit entfernt von der Achse 

 anbringen (damit auch r 2 groB wird). Von 

 dieser geschwindigkeiterhaltenden Wirkung 

 riihrt auch der Name Tragheitsmoment. 



Die Schwungriider bei Maschinen bilden 

 eine Anwendung soldier groBen Tragheitsmomente ; 

 sie wirken regulierend auf den Gang ein, weil 

 sie sowohl einer stoBweisen Erhohung als Herab- 

 j setzung der normalen ^Yinkelgeschwindigkeit 

 durch ihren Triigheitswiderstand entgegenarbeiten. 



7. Pendelschwingungen eines starren 

 Korpers. Wir nehmen nun an, der Korper 



