Drehbewegung 



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befinde sich im stabilen Gleichgewicht. Bei- 

 spiele hierfiir sind: Ein um eine horizon- 

 tale Achse drehbarer schwerer Korper, 

 dessen Schwerpunkt vertikal unterhalb der 

 Achse liegt; eine Magnetnadel, die im ma- 

 gnetischen Meridian eingestellt ist, und ande- 

 res mehr. Die Gleichgewichtslage sei durch 

 den Wert 99 = des Drehungswinkels ge- 

 kennzeichnet. Bringen wir den Korper 

 aus seiner Gleichgewichtslage, so werden die 

 auBeren Krafte ihn wieder zuriicktreiben; 

 falls die Gleichgewichtslage stabil ist, wird 

 das Drehmoment dieser Krafte bei kleinen 

 Abweichungen aus der Ruhelage deren Ab- 

 weichungswinkel 99, um den der Korper 

 aus der Ruhelage gedreht ist, proportional 

 sein; wenn wir den Proportionalitatsfaktor 

 rnit D bezeichnen, so ist das Drehmoment M 

 gegeben durch: 



M = Dy 25) 



Man nennt D die Direktionskraft, weil 

 durch sie das Bestreben der auBeren Krafte 

 bestimmt wird, die Gleichgewichtslage auf- 

 recht zu erhalten. Die Bewegungsgleichuno; 

 lautet dann wegen 23) 



/?= -Dcp 26) 



Das negative Vorzeichen steht, weil die 

 Direktionskraft der WinkelvergroBerung von 

 99 entgegenwirkt. Wir wollen nun die Dauer 

 einer Schwingung berechnen, die der Korper 

 ausfiihrt, wenn man ihn aus der stabilen 

 Gleichgewichtslage bringt. Wir machen 

 dabei von der Analogic zwischen der Be- 

 wegung eines materiellen Punktes und der 

 Drehung eines starren Korpers Gebrauch. 

 Wenn ein materieller Punkt um das Stuck x 

 aus seiner stabilen Gleichgewichtslage ent- 

 i'ernt wird, so wirkt auf ihn eine der Ent- 

 fernung proportionate Kraft 



K= -ax 27) 



die ihn zuriicktreibt, die Bewegungsgleichung 

 lautet, wenn m die Masse, w die Beschleu- 

 nigung bedeutet: 



mw = ax 28) 



Es wird nun gezeigt (vgl. den Artikel 

 ,,Schwingende Bewegung"), daB die 

 Dauer T einer Schwingung (Hin- und Her- 

 gang) gegeben ist durch: | 



drehbaren Korpers, falls die Schwingungen 

 kleine Amplituden haben und urn die stabile 

 Gleichgewichtslage erfolgen, die wichtige 



Formel folgt: 



1 



IB 



D 



.30) 



T=2; 



.29) 



Nachdem nun die Formeln fiir Drehbewe- 

 gungen aus denen fiir Bewegungen eines 

 materiellen Punktes dadurch hervorgehen, 

 daB man setzt: an Stelle von Masse Trag- 

 heitsmoment, an Stelle von Kraft Dreh- 

 moment, an Stelle von linearer Entfernung 

 Winkelentfernung usw., so tritt in Gleichung 

 29) an Stelle von m hier @, an Stelle von 



K M 



a= - hier - - D, so daB fiir die 



X. (Y) 



Schwingungsdauer eines urn seine Achse 



Um die Formel in speziellen Fallen anzu- 

 wenden, muB man und die Direktionskraft 

 D fiir diese Falle berechnen. Wir wollen das 

 letztere fiir einige wichtige Falle tun. 



Wenn auf den Korper nur die Schwer- 

 kraft wirkt, so kb'nnen wir uns dieselbe 

 ganz im Schwer- 

 punkt vereinigt 

 denken. Der Be- 

 trag der Schwer- 

 kraft ist durch das 

 Gewicht G des 

 Korpers gegeben ; 

 sie wirkt vertikal 

 nach abwarts; um 

 ihr Drehmoment 

 fiir die horizontal 

 gedachte Achse zu 

 berechnen, miissen 

 wir die Kompo- 

 nente der Schwere Fig- 4. 



berechnen, die 



senkrecht zur Entfernung des Angriffs- 

 punktes (d. i. hier der Schwerpunkt s) von 

 der Achse steht (Fig. 4.). Diese Komppnente 

 ist hier G sin 99, wenn 99 die Abweichung 

 des Schwerpunktes von der Vertikalen rniBt. 

 Wenn s die Entfernung des Schwerpunktes 

 von der Achse bedeutet, so ist dieses s der 

 Arm der Kraft, das Moment lautet also: 



M= sG sin 99 

 oder fiir kleine Winkel: 



M= -Gs(p 31) 



Die Direktionskraft ist daher nach Gleichung 

 25) gegeben durch 



D-Gs 32) 



und die Schwingungsdauer nach 30) durch: 



'*. ,.33) 



Das ist die Schwingungsdauer des sogenann- 

 ten physischen Pendels:. 



Analog laBt sich auch die Direktionskraft 

 einer Magnetnadel berechnen; wenn H die Hori- 

 zontalkomponente des Erdmagnetisnius bedeutet, 

 ft das magnetische Moment des Magneten, so ist 

 das Drehmoment, wenn qp der Ablenkungswinkel 

 ist, gegeben durch: 



M= ftH sin cp 

 oder fiir kleines qp durch 



M= ft H (f 

 Die Direktionskraft hat also den Wert: 



D = fiH 34) 



und die Schwingungsdauer, die zur Bestim.mu.ng 

 von H verwendet wird: 



T = 27 







,35) 



