1 1 >'. i > Drehbewegung 



Wenn ein Korper an einem vertikalen Faden wenn die Massen homogen im Korper ver- 

 so aufgehangt ist, daB er sich im Gleich- teilt sind, wenn also die Dichten @ k in alien 

 gewicht befindet und der Faden wird ver- Volumelementen gleich sind. 

 dreht (tordiert), so sucht der Faden sich g _ g _ 



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bringen, es treten Direktionskrafte auf und 



wieder in seinen natiirlichen Zustand zu n OQN 



bringen, es treteu Direktionskrafte auf und . U1 ^ i 



der Korper fuhrt Schwingungen um seine &Q lim _ k r k 2 v k 40) 



v k =o 



Gleichgewichtslage aus (Torsionsschwin- 



gungen), wobei er sich urn eine vertikale Dann ngt das Tragheitsmoment bis auf 



Achse dreht. Auch die Schwingungsdauer den Jaktor Q uberhaupt nur mehr von 



solcher Schwingungen ist durch Gleichung 30) * Gestalt des Korpers und der Lage der 



gegeben, wobei aber D nur ^mpirisch be- f, cnse im korper ab. Bei homogenem 



stimmt werden kann. Korper brauchen wir also bloB das Trag- 



8. Berechnung von Tragheitsmomenten. 



heitsmoment fur die Dichte = 



Wir haben gesehen, daB fiir alle Probleme &= lim H k rk 2 Vk ......... 41) 



der Drehbewegung der Betrag des Trag- 



v 



heitsmomentes des Korpers in bezug auf zu berechnen, und erhalten es fiir jede andere 



die Drehungsachse von der allergroBten Dichte durch Multiplikation mit Q. Wenn 



Bedeutung ist. man von dem ,, Tragheitsmoment eines 



Wenn die Massen des Korpers in einzel- Wiirfels, einer Kugel, usw." spricht, so meint 



nen Punkten konzentriert gedacht sind, man immer das durch 41) gegebene. Die 



so berechnet man das Tragheitsmoment wirkliche Berechnung der Tragheitsmomente 



< Gleichung 21) ) einf ach dadurch, daB man geschieht mit Hilfe der Integralrechnung, 



jede Masse mit dem Quadrat ihres Ab- deren Aufgabe es ja ist, Grenzwerte, wie 



standes von der Achs.- multipliziert imd sie in Gleichung 38) und 41) vorkommen, aus- 



diese Produkte addiert. Dieses Tragheits- \ zuwerten. Wir geben deshalb nur die Resul- 



moment ist also ledigh'ch durch die Lage tate an, die man fiir einige besonders wichtige 



der Massen im Korper relativ zur Achse Korper erhalt. 



bestimmt und seine Berechnung ist eine rein Eine Kugel vom Radius r und der Masse m 



mathematische Aufgabe. hat in bezug auf eine durch den Mittelpunkt 



Wenn die Massen kontiuuierlich imganzen gehende Achse das Tragheitsmoment: 

 Korper verteilt sind, so muB man ilm in 2 



kleine Stiicke zerlegt denken und die Masse = ^ mr2 42) 



jedes Teilchens mit dem Quadrate seines 



Abstandes (der um so mehr einen bestimmten Fur emeu Zyhnder von der Lange 1 und 



Wert hat, je kleiner das Teilchen ist) multi- dem Radius r ist in bezug auf die geometnsche 



plizieren. Die Summe aus diesen Produkten Achse ^ 



bildet einen Naherungswert fiir das Trag- @= mr .43) 



heitsmoment, der um so genauer ist, je ' 



kleiner die Teilchen (Volumelemente) sind, in bezug auf die zur geometrischen Achse 



in die der Korper zerlegt ist. Wenn die senkrecht durch den Mittelpunkt gehende 



Masse des k ten Volumelementes durch ink, Achse ist aber 



die Grb'Be (das Volumen) dieses Elementes / 1 2 



durch v k bezeichnet wird, so ist 



m k 



44 > 



. 36) ; Fiir einen geraden Kreiskegel vom Basis- 

 Vk l radius r und der Hohe h ist in bezug auf 



die Massendichte. Das Tragheitsmoment i die Figurenachse (geometrische Achse) 

 ist nun, wenn r k der Abstand des k ten 3 



Teilchens von der Achse ist, nach Gleichung 0== -^mr 2 45) 



21) naherungsweise gegeben durch: 



-x. "^ k m r 2 ~ Vk v r 2 ,7V in " ezu S" au * die durch den Scnwerpunkt 



gehende zur Figurenachse senkrechte Achse: 

 Der genaue Wert ist der Grenzwert dieses 3 



Ausdnickesfurkleinwerdende Volumelemente &= mh 2 46) 



&= lim H k pkV k r k 2 . ,.38)' Fiir ein rechtwinkeliges Parallelepiped mit 



v k o den Kantenlangen a, b, c ist in bezug auf 



In der Ausdrucksweise der Integralrechnung ' eine Achse ' die durch den Mittelpunkt geht 

 schreibt man diesen Grenzwert, wenn wir mit dv und m . lt; den Kanten die Wmkel a, bezw. 

 <l;is Volumelement bezeichnen: /5, 7 einschlieBt: 



0= I pr 2dv 39) = [(b^+ c 2 ) (cos a) 2 + (c 2 + a 2 ) (cos ) 2 + 



Am einfachsten werden die Formeln, (a 2 + b 2 ) (cos y) 2 ] 47) 



