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Stat istik 



stellen Dnterabteilungen des Volumens V 



dar und man kann aus 4) durch Integration 

 iiber die Geschwindigkeitskomponenten q x , ( 

 q } -, q z entnehmen, wie viel Molekiile in jeder 

 dieser Abteilunsen liegen. So klein diese 

 Raume nun auch sein sollen, so sollen sie 

 doch noch sehr viele Molekiile enthalten. 

 Ueber die Verteilung der Molekebi in einem 

 derartigen Bereiche selbst sagt die Zustands- 

 Jnnktion f nichts aus. Hier wird nun die 

 Zahl der ZusammenstoBe zwischen zwei 

 Molekeln so berechnet, als ob diese letztere 

 Verteilung durckaus inir Wahrscheinlich- 

 keitsgesetzen unterworfen ware , als ob 

 auch in molekularen Dimensionen keine Ge- 

 setzmaBigkeit in der Verteilung vorkanden 

 ware. Gegen diesen .,StoBzahlansatz" 

 richten sick in letzter Lime alle Einwande 

 gegen das H-Theorem. 



Zu seiner Verteidigung mackt Planck 

 die Annakme, daB alle in der Natur ver- 

 \virklickten Falle von Moleknlarbewcgong 

 tatsachlich ,,molekular ungeordnet" sind, so j 

 daB der StoBzahlausatz bei iknen stets zu- 

 trifft. Der Umkehremwand wird claim 

 durch die Entgegnung ausgesckaltet, daB 

 der umgekekrte Vorgang nicht mehr mole- 

 kular nngeordnet ist , also nicht vor- 

 komnit. Der Wiederkehreinwand aber ist 

 an einige Vuraussetzungen gebunden, welche, 

 wie z. B. die Annakme glatter, unbeweg- 

 licher Wande im Sinne einer Molekular- 

 tkeorie sicherlick nickt zutreffen. Auf 

 diese Weise erkiilt das H-Tkeorem und 

 damit der gauze zweite Hauptsatz voile 

 ausnahinslose Allgemeingiiltigkeit. 



jo. Boltzrnanns Stellung zu den Ein- 

 wanden. Wie Boltzmann sick selbst zu den 

 beiden Einwanden sestellt kat, ist aus alien 

 seinen Sckriften dariiber wokl wegen eines 

 etwas schwankenden Sprachgebrauckes nickt 

 init der Deutlickkeit zu erseken, wie aus der 

 glanzenden Interpretation, welche sein Sckiiler 

 Paul Ehrenfest dazu gegeben kat. Hier 

 werden beide Einwande als an sick durckaus 

 ricktig anerkannt, nur wird ikr Gegensatz 

 gegen das H-Tkeorem geleugnet. Denn 

 der StoBzahlansatz und damit das e;anze 

 H-Tkeorem ist ein AVahrsckeinliekkeitssatz; 

 er sagt aus, was wakrsckeinlick geschieht, 

 kann aber seiner ganzen Natur nack nkkt 

 leugnen, daB die unwakrsckeinlickcn Aus- 

 nahmefalle dock einmal eintreten. Ini 

 (iegenteil wird dock bei jeder Berechnuns; 

 einer Wakrsckeinlickkeit deren Moglichkeit 

 ausdriicklick zugegeben und benutzt. Die 

 H-Kurvc steigt in der Tat, wie es der AVieder- 

 kehreinwand darstellt, gelegentlich, wenn 

 auch sekr selten, zu koheren Werten an. 

 Aber, wird man fragen, wenn sie so jeden 

 \Vert von H, den sie tiberkaupt erreicht, 

 ebensooft im Aufstieg als im Absticg erreickt, 

 wie stekt es dann mit der Behaupiium. 



daB ein Aufstieg wakrsckeinlicher ist als 

 ein Abstieg? 



Die Autwort darauf lautet: Das liegt 

 an der Unstetigkeit der GroBe H. Sckon 

 die Verteihuursfunktion f ist unstetis, deun 

 die Zakl f a iindert sick um den Betrag 1, 

 wenn eiu Molekiil aus dem betreifenden 

 Elementarbereich a austritt. Ebenso kaun 

 sich H Hack 8) nur um endliche Betra^e 

 andern; dafiir kanu eine solche Aenderung 

 auch nicht in jedem Augenblick, sondern 

 nur im Augenblick eines ZusammenstoBes 

 zwischen zwei Molekeln eintreten. Die 

 H-Kurve ist keine stetige Kurve, sondern 

 besteht aus diskreteu Punkten, von denen 

 jeder den Wert von H unmittelbar nach 

 einem ZusammenstoBe darstellt. 



DaB hierdurch alleSckwierigkeiten gehoben 

 werden, veranschaulicht eiueinfackes Beispiel. 

 Eine groBe Anzakl von numerierten Kugebi 

 sei auf zwei GefaBe verteilt. Aus einer Urne, 

 welche geradesoviel numerierte Zettel ent- 

 | halt, werde je ein Zettel gezogen und sogleich 

 wieder in die Urne hineingetan. Die KiiLrel. 

 welche die gleiche Nummer tragt. wird 

 gleichzeitig aus dem GefaB, in dem sie sick 

 befindet, in das andere iiberfiikrt, 



Man iibersieht auch ohne Redlining, daB 

 die bei weiteni wahrscheinlickste Verteiluug 

 der Kugeln die gleickmaBige Verteilung iiber 

 beide GefaBe ist. Weickt der Zustand er- 

 keblich davon ab, so wird wakrsckeinlick 

 bei der nachsten Ziekung die Nummer einer 

 Kugel gezogen werden, welche in dem 

 volleren GefaBe liegt, so daB sich die Dif- 

 ferenz der Fiillungen allmiihlich ausgleicht. 

 Verstekt man unter D diese Differenz ikrem 

 absolute!! Werte nack, so kann man das 

 Analogon zum H-Tkeorem auf stellen: Weicht 

 D von seinem Minimalwerte erheblick ab. 

 so nakert es sick aller Wakrsckeinlichkeit 

 nack rasck diesem Werte. Auf einer analog 

 zur H-Kurve konstruierteu D-Kurve spricht 

 die Wahrscheiulickkeit fiir absteigende Teile. 

 Andererseits kann es, so unwakrsckeinlick 

 es auch ist, vorkommen, daB die D-Kurve 

 von ihrem Minimum aus zu sehr koken 

 Werten ansteigt. Auch kierbei wird jeder 

 Wert von D ebensooft im Anstieg als im 

 Abstieg erreicht. AuBerdem aber laBt sick 

 der Urukekreinwand wort lick auf dies 

 Beispiel ubertragen, da doch jede Reike 

 von Ziehungen auch in zeitlicker Um- 

 kckrung eintreten kann. Die scheinbaren 

 Widerspruche, die auch kier wieder auf- 

 treten, erklaren sick aus der Unstetigkeit 

 der D-Kurve, welche gleich der H-Kurve 

 eine Gesamtheit diskreter Punkte ist. deren 

 jeder den Wert von 1) nack einer Ziekung 

 ansjibt. Die Differenz in der Hohe zweier 

 benachbarten Punkte hat stets den Betrag 2. 

 Die iiberwaltigende Mekrzakl dieser Punkte 

 wird freilich in der Make vmi liegeu. Ist 



