StoB 



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zusammengepreBter AVolle war er -g, fiir Stahl 



und Glas gleich ',. AVir wollen nun die 



Geschwindigkeiten nach dem StoB fiir 

 Kugeln voin gegebenen Restitutionskoeffi- 

 zienten k berechnen. Hier erhalt die Kugel m, 

 nach dem Ausgleich der Geschwindigkeiten 

 nicht die gauze verlorene Bewegungsgro'Be 

 in^u Vj) zuriick, sondern nur den Bruch- 

 teil km^u Vj), wir erhalten also: 

 lu.c-! =m 1 u+ km^u YI) 

 und an Stelle der Formeln 3) tritt: 



c t = u(l + k) kvj 



c 2 = u(l -j- k) kv 2 

 Aus diesen Gleichungen ergibt sich fiir 

 k = als Spezialfall der unelastische StoB 

 (Gleichung 2) und fiir k = 1 der vollkommen 

 elastische StoB (Gleichung 3). AVenn wir 

 fiir u aus Gleichung 1 seinen AVert in Glei- 

 chung 7 einsetzen, erhalten wir: 



i 1 km 2 ) + m 2 v 2 (l + k) 



Beim StoB unelastischer Kugeln ist dies 

 die beim ganzen StoBvorgange verlorene 

 lebendige Kraft. Bei vollkommen elastischen 

 Korpern wird diese lebendige Kraft beim 

 zweiten Teil des StoBvorganges (der Rest it u- 

 tionsperiode) wieder gewonnen, bei unvoll- 

 ko m men elastischen Korpern nur teilweise. 

 Aus Gleichung (7) folgt: 



c, = 



in. 



+ k) + v 2 (m 2 



8) 



Audi hier ergeben sich fiir k = der un- 

 elastische StoB (Gleichung 2), fiir k = 1 der 

 vollkommen elastische StoB (Gleichung 4). 

 Aus Gleichung (7) folgt durch Sub- 

 traktion : 



Cj c 2 = k (Vj v 2 ) ... 9) 



Die Relativgeschwindigkeit der Kugeln 

 wird also durch den StoB auf eineii Bruchteil 

 der urspriinglichen herabgedriickt, der durch 

 deu Restitutionskoeffizienten bestimmt ist. 



AVir wollen nun noch die durch den StoB 

 entstandene Aenderung der lebeiuliu'en Kraft 

 (kinetischen Energie) berechnen. AVir fragen 

 zunachst um die Aenderung, die bis zum 

 Ausgleich der Geschwindigkeiten statt- 

 gef unden hat. Nach der Gleichung (1) ist: 

 2(11^ + m 2 )u 2 = 2 n^Vjii + 2 ru 2 v 2 u. 



Diese Gleichung ziehen wir von der 

 folgenden identischen Gleichung ab: 



m,v 2 



+ 



ni 2 )u- = 



dann folgt nach kurzer Rechnuiig: 



m,)u 2 



u) 2 + -- ni 2 (v a u) 2 10) 



Diese Gleichung besagt aber: die beim 

 StoB bis zum Geschwindigkeitsausgleich ver- 

 lorene lebendige Kraft istgleichder lebendigen 

 Kraft, welche die Kugelu hatten, wenn sich 

 beide mit den beim StoB verlorenen Ge- 

 schwindigkeiten bewegten (Satz von Carnot) 



= k 2 



1 

 ~2~ ( 



, + _1_ m . 



+ m a ) u 2 ] 



j + 



Nach dieser Gleichung ist die Zunahme der 

 lebendigen Kraft wahrend der Periode der 

 Wiederherstellung der Kugelgestalt (Restitu- 

 tion) k 2 mal so groB als der A'erlust, wahrend 

 der Periode der Ausgleichung derGeschwindig- 

 keiten. Daraus ergeben sich fiir k = und 

 k = 1 die beiden Grenzfalle. Der gesamte 

 A^erlust an lebendiger Kjaft beim StoB 

 beliebiger Kugeln betragt also : 



k 2 ) [m 1 (v 1 ~ 



m 2 (v 2 u) 2 lJ 



ein Ausdruck, der fiir k = in den Car not - 

 schen AVert (Gleichung 10) iibergeht. Genau 

 dieselben Satze w T ie fiir Kugeln, gelten fiir 

 alle Korper, fiir welche die Gerade, liiun's 

 deren sie sich bewegen, eine Symmetrii 1 - 

 achse ist, so z. B. fiir gewohnliche Zylinder, 

 die sich liings ihrer Achse bewegen, und an- 

 einander stoBen. 



5. Allgemeiner Begriff der StoBkraft. 

 l>ie Aenderung der Bewegungsgro'Be, die 

 durch den StoB hervorgerufeu wird. muB 

 nach den allgemeinen Grundsatzen der 

 Bewegungslehre als Wirkung einer Ivi-ai't 

 aufgel'aBt werden. Die Bewegungslehre zeigt 

 uns auch, wie aus der Kenntnis der Ani'angs- 

 geschwindigkeit und der Kraft zu jeder Xcil 

 die Geschwindigkeit des Korpers berechnet 

 werden kann (vgl. den Artikel ,, Bewegungs- 

 lehre" Gleichung 67). AVenu ein materieller 

 Punkt von der Masse m zur Zeit t, die Ge- 

 schv indigkeit a c hat (wo t> ein Vektor ist) 

 und die Kraft K zur dieser Zeit auf ihn 

 wirkt, so ist seine Geschwindigkeit D L in 

 einem sehr nahe an t ? gelegenen Zeitpunkt 

 tj durch folgende Gleichung gegeben: 



-B O ) = K(t 1 



11) 



Wenn ich nun auch die Ivraft im Zeitpunkt 

 t! kenne, kann ich die Geschwindigkeit 

 nach eiuer weiteren kurzen Zeitspanne 

 berechnen usw. AVenn ich nun mit B O , B 15 B 2 

 . . . B n die Geschwindigkeiten in den in 

 kurzen Intervallen aufeinanderiolgenden Zeit- 

 pimkten t , t 1 . . . t n bezeichne, mit K , K lt 

 Kn . . . die Werte der Ki'aft in diesen Zeit- 

 punkten, so kann ich fur jedes der Zeit- 



