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Tonsysteme 



ein MaB der Oktave sein, die 12 Tonstufen 

 sind mit I bis XII bezeichnet. Nun lie;;! die 

 Frage nahe, \vic es denn mit dcr Abweicliung 

 der iibrigen musikalischen Intervalle steht. 

 Durch Bereehnung der Schwingungszahlen 

 laBt sich die Frage beantworten. hides 

 benutzen \vir diese Gelegenheit, eine andere, 

 schon von Euler begriindete Jlethode 

 darzustellen, die besonders leicht und ein- 

 fach Sehwingungszahlen zu vergleiehen ge- 

 stattet. 



2. Logarithmische SchwingungsmaBe. 

 Eine jede Zahl kann (lurch ihren Logarithinus 

 auf beliebig gewiihlter Grundzahl dargestellt 

 werden. Werden Intervalle aneinander- 

 gefiigt, so miissen die Verhaltniszahlen mit- 

 einander multipliziert werden; schlieBt 

 man z. B. an die Quinte c g eine groBe Terz 

 g h, so t'indet man aus 3 /2- 5 /4 die Zahl 15 / 8 , 

 also c:h = 8:15. Wird dagegen das 



Schwingungsverhaltnis durch Logarithmen 

 angegeben, so hatte man die entsprechen- 

 den Zahlen der Quinte und Terz nur zu 

 addieren. Es sei namlich i ein beliebiges 

 Intervall; dann setzen wir 



iind es kann nun k, statt i, als Merkzahl 

 des Intervalls dienen. Fur ein anderes 

 Intervall sei a l( i = \ 1 : alsdann wird das zu- 

 sannnengesetzte Intervall i .i, = a l; .a l; i = 

 a k + |; i sein: es sind also die Merkzahlen k 

 und k t zu addieren. Ueber die Grundzahl a 

 diirt'en wir zweckmaBig verfiigen. Die Grund- 

 zahl lOerscheintungeeignet, weil fiirdieOktave 

 i = 2 sein soil, aber 10 - = 2 ergabe fiir k 

 eine irrationale Zahl. Euler setzte a k = 2, 

 und verlangte k = 1 fiir i = 2, d. h. fiir das 

 Intervall der Oktave sollte k von 



bis 1 anwachsen. Nun gibt die Glei- 

 chung 



a'< = i fiir k = 0, i = 1, 



und fiir k = 1, i = 2, nur dann, 

 wenn a = 2 angenommen wird. Nun wird 

 2 I; = i die Gleichung ergcbpn: 



k = log i/log 2. 



Wir berechnen zunachst die reinen Quin- 

 ten und Terzen nach diesem Logarithmen- 

 maB: Fiir die Oktave wachst k. der Loga- 

 rithinus, von 1 bis 2. Fiir die Quinte. weil 



1 = 3 A. wird q = (log 3 log 2)/log 2 = 0,58496 

 und fiir die groBe Terz, weil i == 5 /i ist, 

 t = (log 5 log 4)/log 2 = 0,32193. Es mm 

 sich glik-klich, daB diese beiden Zahlen sirli 

 abninclen lassen auf drei Stellen. Niclits 

 hindert aber die Oktave, statt als ein Gauzes, 

 in 1000 Teile geteilt anzusetzen; dem ent- 

 spriclit die Fonierung, daB fiir k = 1000, = 2 



k 



werden sollr. I >ann erliiilt man 2 1000 = i, d. li. 

 wir wiihlen als Grund/.alil statt der Zahl 2 



deren 1000. Wurzel. Es ist nunmehr 2 1000 "= i, 

 also fiir die Quinte wird 



q = 1000. (log 3 /2)/log 2) = 585"o 

 und fiir die groBe Terz 



t = 1000 ((log 5 / 4 )/log 2) = 322'>, 



welche abgerundete Zahlen in ganzen Milliok- 

 taven (//(/) innerhalb welter Grenzen gelten 

 konnen. 



3. Logarithmische Buchstabenton- 

 schrift. InFigur 3 wurde die ilittellinie vond 

 bis cisis und eses aufgefiihrt, mit Hinzuf ugung 

 aller Logarithmen. Die zweite Quinte von d 

 gabe 2x585 = 1170"". Da aber die Oktave 

 1000" ausmaeht, darf man ohne weitere-i 

 die 1 vorn fortlassen. wodurch der Lni;,-i- 

 rithmus in die Nachbarschaft des Tones d 

 fiihrt. Jede Horizontalreihe wird durch 

 Binzuf ugung von 585 gebildet. Die tcrz- 

 verwandte niichste Quintgeneration ist eben- 

 so durch die Unterschiede 585 gekenn- 

 zeichnet, nur ist der Anfangston, z. B. fis 

 durch 322 gegeben, und fiir b (lurch 1000322 



= 678. Die Reihen wurden nur bis cisis 

 und eses hingeschrieben: endlich beginnt 

 die dritte Quintgeneration nach oben mit 



cisis und die dritte nach unten mit ceses. 



Es ist nun iiuBerst bequem, ein 

 Intervall zu bestimmen; man bildet nur die 

 Differenz der Logarithmen; z. B. as gis 

 = 508 -- 492 == 16"". 



4. Logarithmischer Quintenzirkel. 

 In Figur 2 wurden die Quintenzahlen 

 iiber den Kreis verteilt. Der in 1000 

 Teile geteilte Uinfang stellt die Oktave 

 dar, die Quinte a konimt auf 585 und die 

 Unterquinte g auf 415. Es folgen in derselben 

 Weise die Quinten nach oben und unten bis 

 cisis und eses, also ist es eine Abbihlung der 

 ganzen Mittellinie der Fig. 1. Man sielit 

 deutlich, wie die letzten Quinten beiderseits 

 inn 20"abweichen. Dieses pythago raise he 

 Komma ist es, das im temperierlen 

 System ausgeglichen wurde. Ebenso 

 weichen as und gis urn 20"" voneinander ab. 

 Das syntonische Komma ersieht man aus 

 fis fis oder aus b b = 18. 1; . 



5. Die temperierte Tastatur. Da die 

 x.wiilf temperierten Quinten gleifhgml.le 

 Intervalle sind, so miissen Tone iiiiitrlialb 

 eiuer Oktave, gleichweit voneinander ent- 

 I'ernt, nel)eneinander liegen. Die /.wolf 

 Stufen heiBen llalbtonstufen. Die Quinte 

 von d bildet die siebente Halbtonstul'e. 

 Es entsleht also durch Anreihung der 

 (,)uinten die Stuf enzahlf olge : 



