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Wechselstrome 



standig und eindeutig; er kann daher als 

 Symbol fur einen solchen Strom gelten. 



Der Nutzen dieser Darstellung ergibt 

 sich aus der folgenden Betrachtung. Gegeben 

 sind zwei Wechselstrome 



und 



1 1 =-- I mi sin (cot + 99]) 



1 2 == Im 2 sin (cot + 99 2 ), 



und es soil die Summe ij + i 2 gebildet 

 werden. Der Strom i x moge durch den 

 Vektor OA 1? der Strom i 2 durch OA 2 dar- 

 gestellt werden (Fig. 7). Man denke sich ein 

 Parallelogramm OAA- mit den Seiteu 



j und OA 2 konstruiert und die Diagonale 

 OA gezogen." Dann wird das Parallelo- 

 gramm mit der Winkelgeschwindigkeit co 

 in Pfeilrichtung rotieren, da die Seiten a 

 und OA 2 dies tun. Nun lehrt eine einfache 

 geometrische Betrachtung, daB stets die 

 Projektion OB der Diagonale gleich ist 

 der Summe der Projektionen OBj und OB 2 

 der beiden Seiten, welches auch immer die 

 Lage des Parallelogramms sei. Da nun 



j == i x und OB 2 =- i 2 , so ist 



OB == i t + i 2 . 



Das heiBt, die Summe zweier Wechsel- 

 strome wird dargestellt durch einen 

 Vektor OA, der gleich ist der vek- 

 toriellen Summe aus den beiden 

 Vektoren OA X und OA 2 der beiden 

 Strdme. 



Fig. 8. 



Fig. 7. Zusammensetzung 

 zweier Wechselstromvektoren. 



Die Summe zweier Strome erhalt man zum 

 Beispiel nach der Vereinigung dieser Strome in 

 einem Knotenpunkte a (Fig. 8). Der vorstehende 

 Sat/ liefert hier das zunachst etwas paradox 

 erscheinende Ergebnis, daB die durch den Scheitel- 

 wert OA gemessene Starke des Gesamtstromes 

 ij+iz kleiner ist als die Summe der Scheitelwerte 

 fJAj + OA 2 der beiden Teilstrome; sie kann, 

 wie leicht ersichtlich, sogar kleiner werden als 

 jeder der Einzelwerte OA t und OA, (wenn 

 die Phasenverschiebung qp 2 g^ groB ist). Ent- 

 sprechendes gilt von der Reihenschaltung von 

 Wechselspannungen. 



Eine Figur, in der, wie in Figur 7, ein- 

 wellige periodische GroBen durch Vektoren 

 symbolisch dargestellt sind, nennt man ein 

 ,,Vektordiagramm". Aus der vorstehen- 

 den Entwickelung ersieht man, daB die 

 symbolischen Vektoren von Wechselstrom- 



grb'Ben ebenso zusammenzusetzen sind, wie 

 die Krafte in der Mechanik. 



3. Komplexes Rechnen. Die Darstellung 

 der WechselstromgroBen im Vektordiagramm 

 hat sich fiir die Behandlung von Wechsel- 

 stromvorgangen als auBerordentlich frucht- 

 bar erwiesen. Sie ist vor allem sehr anschau- 

 lich. Dies em Vorteil steht nur der Nachteil 

 gegeniiber, daB sie sich zur Berechnung 

 der Vorgange weniger eignet, besonders 

 wenn das Vektorbild nicht ganz einfach ist. 

 Die Anschaulichkeit dieses Bildes hat daher 

 schon friihzeitig den Wunsch erweckt, ihm 

 ein Analogon in der Rechnung zur Seite 

 zu stellen; mit anderen Worten, das Vektor- 

 bild in die Sprache der Algebra zu iiber- 

 setzen. 



Da ein Vektor in der Ebene ein zwei- 

 dimensionales Gebilde ist, gelingt diese 

 Absicht nur durch die Verwendung zwei- 

 dimensionaler Zahlen, d. h. der komplexen 

 Zahlen. 



Man denkt sich die Ebene des Vektor- 

 diagramms (Fig. 9) zugleich als die Ga us si- 



Fig. 9. Beziehung 



zwischen einem Dia- 



grammvektor und der 



zugehorigen komplexen 



Zahl. 



-6- -X 



sche Zahlen ebene; der Drehpunkt der 

 Vektoren sei ihr Nullpunkt. Nun ist der 

 Vektor OA, der die Sinuslinie 



Im] sin (cot + 9?) 



vertritt, durch die Lage seines Eudpunkts A 

 vollstandig bestimmt. Dem Punkte A ist 

 aber in der Gaussischen Ebene die komplexe 

 Zahl 



3-X + JY 



zugeordnet (j = } ; 1). Dabei ist, wie der 

 Augenschein lehrt (Fig. 9): 



X = I m cos <p 



Y : = Im sin (p 



i m - 



tg? - x 



Der Vektor OA und die zugehorige 

 Sinuslinie werden daher auch durch 

 die komplexe Zahl y symbolisch 

 dargestellt. Umgekehrt laBt sich jede 

 komplexe Zahl $ als Sinnbild eines Vektors 

 auffassen. Die beiden Arten der Darstellung 

 vertreten einander vollstandig. Insbesondere 

 sind zwei verschiedene komplexe Zahlen ^i 

 und ebenso zu addieren wie Vektoren. 



