Wechselstrome 



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Die komplexe Zahl $ erscheint hier zu- 

 nachst als Resultierende aus ihrer horizon- 

 talen (reellen) Komponente X uiid ihr?r 

 vertikalen (imaginaren) Komponente jY. 

 Fiir manche Betrachtungen in der Wechsel- 

 stromlehre erweist sich jedoch erne anclere 

 Form dieser Zahlen als zweckmaBiger. Es ist 



3 == X + jY = = Im(cos 99 + j sin 99). 

 Der Klammerausdruck cos <p + j sin <p stellt 

 den Punkt A x dar, in dem der Vektor OA 

 den Kreis um mit dem Radius 1 trifft. 

 Eine andere Form dieses Ausdruckes ist 

 bekanntlich 



JfP 



worin e == 2,71828 ... die Basis der natilr- 

 lichen Logarithmen ist. 



Man kann dalier auch schreiben 



3 = I m el> 



Hier erscheint nun die komplexe Zahl $ 

 dargestellt clurch ihren Betrag (die Ampli- 

 tude) I m und ihr A r g u m e n t (Phasen- 

 winkel) 99. 



Im allein wiirde, als komplexes Symbol 

 aufgefafit, den Vektor OA darstellen, der 

 mit der horizontalen Achse Ox (der Achse 

 der reellen Zahlen) zusammenfallt. Die 

 Hinzunahme des Faktors eJ9> ergibt den 

 Vektor $, ist also gleichbedeutend mit 

 einer Drehung des Vektors I m == OA 

 um den Wink el 99. Dies gilt nun all- 

 gemein; so wiirde z. B. 



den Vektor OA 2 in Figur 9 bedeuten, der 

 aus dem Vektor $ hervorgeht, wenn man 

 diesen um den Winkel ip im Sinne einer 

 positiven (Links-) Drehung weiter verdreht. 

 Deshalb laBt sich in der komplexen Rech- 

 nung auch die Drehung der Vektoren selbst 

 mit der Winkelgeschwindigkeit co durch die 

 Hinzunahme des Faktors 



bezeichneten Vektoren OA X und OA 2 dar- 

 gestellt sein. Es ist dann nach dem soeben 



Gesagten 



OA 



\j\n ,\o 



i * 



Setzt man nun 



Im, 



Im, ^^ ^ 



so wird 



d. h. ^ geht aus ^ 2 hervor durch Multi- 

 plikation mit r und Vorwartsdrehung um 

 die Phasendiffereuz (p. Nun kann hier die 



GroBe re 5qp als komplexer Faktor 



r = , 



-.= a 



mit den Komponenten 



jb 



zum Ausdruck bringen. Im allgemeinen 

 laBt man aber diesen Faktor weg, da es 

 auf die Drehung der Vektoren (d. h. auf die 

 zeitliche Aenderung der Wechselstrom- 

 groBen) in vielen Fallen weniger ankommt 

 als auf die gegenseitige Lage der Vektoren 

 (d. h. auf die Phasenverschiebungen). 



Fig. 10. Vektordiagramm 



zweier in der Phase gegen- 



einander verschobenen 



WechselstromgroBen. 



Die in Figur 5 abgebildeten Sinuskurven 

 mogen in Figur 10 durch die entsprechend 



a ~ r cos <p 

 b == r sin <p 

 aufgefaBt werden. Man kann somit 



cy _ _cv 

 \3i r \3a 



setzen. Der Umstand, daB eine solche einfache 

 lineare Beziehung zwischen den beliebigen 

 Vektoren ^ und $ 2 immer angesetzt werden 

 kann, ist von groBer Bedeutung; er hat zur 

 Folge, daB mittels der kornplexeu 

 Rechnung Wechselstromkreise und 

 -verzweigungen ebenso einfach be- 

 handelt werden kb'nnen wie die ent- 

 sprechend en Gleichstromprobleme. 



Aus der vorher entwickelten vollstandigen 



Vertretbarkeit des komplexen Symbols durch 



das Vektorsymbol oder durch die zugehorige 



Sinuslinie folgt weiter, daB sich mit der 



| komplexen Rechnung auch stets eine wohl- 



t bestimmte physikalische Vorstellung ver- 



| binden laBt, und zwar nicht nur im Ansatze 



und im Ergebnis, sondern auch mit den 



einzelnen Schritten der Rechnung selbst. 



Das wird aus den spater mitgeteilten An- 



wendungsbeispielen noch deutlicher hervor- 



gehen. 



4. Effektivwert und Leistung ein- 

 welliger Strome. Fiir einen Sinusstrom 

 kann der im Abschnitt I 3 Gleichung (c) 

 S. 560 definierte Effektivwert in einfacher 

 Weise berechnet werden. 

 Ist 



i == Imsin (cot +99), 



so wird 



[1 _ cos (2cot + 99)]. 



In Figur 11 ist die Kurve fiir i und diejenige 

 fiir i 2 gezeichnet. Diese ist, wie man sieht, 

 eine Sinuskurve von der doppelten Frequenz. 

 Der Ausdruck 



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