r,78 



\Vrrhselstrume 



Schwingungen 



Die Krei-frequenzen der ubrigen Schwingun- 

 gen sincl ganzzahlige Vielfache von co; diese 

 heifien die ,,0berschwin- 

 Eine nichtsinusfonnige Span- 

 nung v kann somit durch den Ausatz 



v - - V a ]/2 sin (cot + <PI) 



+ V 2 y2~sin(2wt + 9? 2 ) + . . (23) 



fUrgestellt werden. Darin ist V x der Effektiv- 

 wert der Grundschwingung, cp i ihre Phasen- 

 \ rrschiebung; V 2 nnd (p. 2 sind die entspre- 

 dienden Gro'Ben der nachsten Oberschwin- 

 gung nsw. Wegen der Moglichkeit einer 

 Zerlegung nach Gleichung (23) nennt man 

 die nichtsinusformigen Kurven auch ,,zu- 

 sammengesetzte" oder ,,mehrwellige" 

 Kurven. 



2. Effektivwert und Leistung mehr- 

 welliger Strome. Der Effektivwert ernes 

 mehrwelligen Stromes ist nach Abschnitt I 3 

 durch den Ausdruck Gleichung (c) definiert. 

 Zerlegt man nun den Strom entsprechend 

 dem Ansatze 



sin (cot + 



I 



sn 



( 24 ) 



in seine sinusformigen Komponenten und 

 setzt dies in den genannten Ausdruck ein, 

 so ergibt eine kleine Rechnung fiir den 

 Effektivwert I die Beziehung 



1st z 

 so folgt 

 da6 die 



= yi 1 2 + i 2 2 + (25) 



hieraus I : 1,005 L; man ersieht, 

 Kurve schon ziemlich starke Ober- 

 schwingungen enthalten kann, bevor ihr 

 Effektivwert von dem der Grundschwingung 

 betrachtlich abweicht. Hierauf beruht es, 

 daB man haufig bei Messungen und theore- 

 tischen Betrachtungen mehrwellige Wechsel- 

 strome hinsichtlich ihrer Eff ektivwerte 

 als einwellige Strome von der Frequenz 

 der Grundschwingung behandeln darf, ohne 

 auf betrachtliche Fehler zu kommen. 



Fiir den zeitlichen Mittelwert der 



Zeit 



Leistung eines mehrwelligen Stromes mit 

 einer mehrwelligen Spannung leitet man aus 

 Gleichung (23) und (24) den Ausdruck ab 



P== V 1 I 1 cos(9? 1 VJ + 

 + V 2 I 2 cos ((p 2 v 2 ) + ... 



Hieraus geht hervor, da8 sich die mittleren 

 Leistungen der einzelnen Komponenten von 

 j gleicher Frequenz einfach addieren. Strom- 

 und Spannungskomponenten von verschie- 

 dener Frequenz ergeben dagegen die mittlere 

 Leistung Null (vgl. den SchluB des Abschnitts 



II 4). 



3. Stromkreise. Die Bedeutung der 

 Fourierschen Zerlegung einer mehrwelligen 

 WechselstromgroBe in ihre einwelligen Kom- 

 ponenten beruht vor allem darauf, daB die 

 Beziehungen zwischen Strom und Spannung 

 in vielen Wechselstromkreisen linearen 

 Charakter haben. Ueberall, wo das zutrifft, 

 darf man jede Sinuskoniponente fiir sich 

 allein betrachten, so, als ob die ubrigen 

 Komponenten nicht vorhanden waren. Sie 

 beeinflussen sich gegenseitig nicht. Dadurch 

 wird die Betrachtung mehrwelliger Strome 

 auf den einfachen P^all des einwelligen Stromes 

 zuriickgefiihrt. 



Nur dort, wo das lineare Superpositions- 

 gesetz nicht gilt, wie z. B. bei Spulen mit 

 stark magnetisiertem Eisenkern, laBt sich 

 diese Betrachtungsweise nicht anwenden, 

 und dort verliert daher auch die Fourier- 

 sche Zerlegung ihre praktische Bedeutung. 

 Dort muB man sich entweder mit angenahert 

 zutreffenden Betrachtungen begniigen oder 

 seine Zuflucht zur zeichnerischen Darstellung 

 nehmen, wie in dem im Abschnitt II sb 

 behandelten Beispiele. 



Besonders einfach gestalten sich auch 

 bei mehrwelliger Spannnngskurve die Ver- 

 haltnisse in einem Stromkreise, der nur 

 Ohmschen Widerstand enthalt. Hier 

 ist der Strom der Spannung in jedem Augen- 

 blicke proportional, und die Form der Strom- 

 kurve stimmt daher mit der Form der 

 Spannnngskurve iiberein. Dies zeigt auch 



Fig. 41. Strom I und Spannung E an einem reinen Ohmschen Widerstande. 



