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Wellenausbreitung und Welleninterferenz 



in der nur X als Funkion von x, y, z, t vor- 

 kommt. Die Elimination geschieht folgender- 

 maBen: indem man die zweite und dritte 

 Gleiohung (30b) respektive nach z und y 

 differenziert, ergibt sich folgendes: 



31) 



1 v die Frequenz der zu erwartenden Welle 

 ist, so erhalt man durch Einsetzen dieses 

 provisorischen Ansatzes in (35): 



C dtdZ 



dz 2 ' 



& 2 Y 



- a 2 



oder 

 37) 



dt 2 



x = 0. 



c dtdy dy z 



und die n'ach t differenzierte Gleichung (30a) 

 liefert: 



Wenn diese letztere Gleichung ert'iillt 

 werden kann, so ist unser Ansatz (36) zu- 

 lassig, also eine Losung der Gleichung (35). 

 Nun sieht man aber sofort, daB <>(x) gesetzt 

 werden kann: 



Setzt man (31) in (32) em, so folgt: 



= , 

 = 



_ 4. "_ _u i 

 :Vdx by S 



und das letzte Glied ist nach (30c) gleich 



38) 



,, (x) = 



I vs. 

 cos - 

 \ a 



) . 

 sin 

 \ 



denn claim ist 



Null; also ist endgiiltig: 



33) 



h " 



Diese Gleichung ist die sogenannte Wel- 

 lengleichung. Genau dieselbe Form der Wel- 

 lengleichung nur mit anderen Konstan- 

 ten - - erhalt man aus den elastischen Glei- 

 chungen, so daB man als allgemeinen Typus 

 derselben die Form hat, wenn man durch 

 irgendeine der in Betracht kommenden 

 GroBen (Verruckung, Verdichtung, Druck, 

 elektrische oder magnetische Feldstarke usw.) 

 bezeichnet: 



34) = a 2 A. 

 St- 

 ill a 2 haben wir alle Eigenschaften des 



Mediums in einer Konstanten zusammen- 

 gefaBt; wir konnen also von vornherein 

 erwarten, daB a 2 mit der Fortpflanzungs- 

 geschwindigkeit in engstem Zusammenhange 

 stehen wird. 



Wir miissen zunachst zeigen, daB (34) 

 als Losungen raumlich und zeitlich perio- 

 dische Funktionen zulaBt; dabei beschranken 

 wir uns absichtlich anf einfache, aber wich- 

 tige Spezialfalle. 



Wir wollen zunachst speziell annehmen, 

 I hange nur von einer Raumkoordinate, 

 etwa x ab, nicht aber von y und z. Dann geht 

 (34) iiber in die sogenannte ,,eindimensionale" 

 Welle ngleichung: 



35) = a2 ^' 



U I/ U A. 



Diese laBt sich nun sehr leicht losen. 

 Denn setzen wir probeweise an: 



(cos v t\ 

 ^ ' \sin v t)' 

 wo <p(x) eine noch zu bestimmende Funktlon, 



a- 



a 



cos 



sin 



vs. 



a 

 vs. 



a 



also ist die Bedingung (37) erfiillt. 

 Wir liaben also nach (36) 



vs.' 



a 



rx 



cos 



sin 



a 



COS V t 



sin v t 



39) 



d. h. wir haben eine Anzahl von moglichen 

 Losungen z. B. 



rx rx 



= cos . cos ft; 3 = sin 7 .cos rt; 

 a a 



rx . rx . 



= cos - sin v t; ^ 4 = sm- - sin r t, 

 a a 



und man sieht sofort, daB dies in der Tat 

 raumlich und zeitlich periodische Funk- 

 tionen sind, also Wellen darstellen. Audi 

 die Summen zweier Losungen sind wieder 

 Losungen, z. B. ergibt sich: 



40) | 5 =|j+| 4 = 



-rt =cosvt- 



usw. 



36) 



= 



Bedenkt man, daB nach (5) v - - ^, wo 



; T die Schwingungsdauer, so kann man fiir 

 die letzte Gleichung schreiben: 



i__x\ 

 T aT/' 



und durch Vergleich mit (7) folgt fiir die 

 Wellenlange /: 



I == aT = ; a == n/., 



und nach (9) fiir die Fortpflanzungsgeschwin- 

 digkeit: 



v = a. 



