"Wellenausbreitung und Welleninterferenz 



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Damit 1st die physikalisehe Bedeutung 

 der in der Wellengleichung auftretenden 

 Konstanten a 2 klargestellt: sie ist gleich 

 dem Quadrate der Fortpflanzungsgeschwin- 

 digkeit. 



In der Losung kann natiirlich noch eine 

 multiplikative Konstante A hinzugefiigt 

 werden, so da6 man schreiben kann: 



41) | = 



Diese Losung der eiudimensionalen Welleu- 

 gleichung (35) ist dadurch ausgezeichnet, 

 daB die Amplitude der Welle konstant 

 ist und die Welle sich nur nach einer Rich- 

 tung ausbreitet. Damit hangt aufs engste 

 zusammen, daB man konstante Phase in 

 alien Punkten x = const., d. h. in alien 

 Punkten jeder zur x-Achse senkrechten 

 Ebene erhalt. Solche Wellen, bei denen 

 die Flachen konstanter Phase Ebenen sind, 

 nennt man ,,ebene Wellen". 



Jetzt wollen wir weiter den Fall unter- 

 suchen, da6 | in (34) nur von der Entfer- 

 nung r vom Erregungspunkte abhangt, 

 d. h. x, y, z nur in der Verbindung r 



Fx 2 + y 2 + z 2 enthalt; ferner soil sich 

 die Welle um das Zentrum symmetrisch 

 ausbreiten. Fuhren wir an Stelle von x, y, 

 z Polarkoordinaten r, $, cp ein, so heiBt das, 

 daB | nur von r, nicht von & und 9? abhangt. 

 In diesem Falle kann man schreiben: 



also wieder abgesehen von der irrelevanten 

 Bezeichnung, die eindimensionale Wellen- 

 gleichung (35), deren Losung wir soeben 

 diskutiert haben. Wir haben also analog: 



oder: 

 43) 



f = r = A cos 2n - 



, A ft r 



= -cos 2jrlm- 

 r MX 



dx 



dr dx 



dx 2 dr 2 r 2 r dr r 3 



ebenso: 



d 2 ! 



I J "^ j 



r dr r 3 



also: 



dz 2 " dr 2 r 2 r dr r 3 dr 



r dr 



Mithin wird die Wellengleichung in diesem 

 FaUe: 



' a 2 plJL _]_ _ 



dt 2 ' ~ a Idr* r dr 



oder auch: 



d 2 ! 2 d 2 

 r dt 2 :=a dr 2 



oder endlich: 

 42) 



Setzt man fur einen Moment r | = f , 

 so hat man: 



d 2 ^ ^ 

 dt 2 ~ :a dr 2 ' 



Handworterbuch der Naturwissenschatten. Band X. 



Durch (43) ist ebenfalls eine Welle 

 dargestellt, die sich aber in mehrfacher Hin- 

 sicht von den bisher betrachteten ebenen 

 Wellen unterscheidet. Zunachst sieht man, 



A 



da6 die Amplitude - - nicht mehr konstant 



ist, sondern mit wachsender Entfernung 

 vom Erregungszentrum abnimmt, umgekehrt 

 wie diese Entfernung zunimmt. Ferner erhalt 

 man eine konstante Phase, wenn r = 

 constans ist, und das ist die Gleichung einer 

 Kugelflache um das Erregungszentrum als 

 Mittelpunkt. Die Flachen gleicher Phase 

 sind also Kugelflachen, und deshalb nennt 

 man Wellen von dem Charakter der in (43) 

 dargestellten ,,Kugelwellen". Mit solchen 

 hat man es immer zu tun, wenn eine einzige 

 punktformige Erregungsstelle vorhanden ist. 

 In der Mitte zwischen Kugelwellen und 

 ebenen Wellen stehen die sogenannten 

 ,,Zylinderwellen". Man erhalt die Diffe- 

 rentialgleichung derselben, wenn man an- 

 nimmt, daB in (34) nur von zwei Koordi- 

 naten, z. B. von x und y, nicht aber von 

 z abhangt, also: 



44) dt 2 " " Vdx 2 ' dy 2 / 



Dies ist realisierbar, wenn man als Er- 

 regungsstelle eine unendlich ausgedehnte 

 Linie hat, z. B. hier die z-Achse. Die 

 Losungen der zweidimensionalen Wellen- 

 gleichung (44) lassen sich, wenigstens in 

 hinreichender Entfernung von der Erre- 

 gungsstelle, schreiben - man beachte die 

 Analogic zu den Kugelwellen: 



45) | = - '- . cos 



K 



wo r' 1/x 2 + y 2 ist. Die Amplitude ist 

 umgekehrt proportional der Wurzel aus dem 

 Abstande r' von der Erregungslinie, und die 

 Flachen konstanter Phase sind hier Zylinder- 

 flachen. 



Man bernerke, daB in alien bisher genann- 

 ten Fallen die Flachen konstanter Phase 

 und konstanter Amplitude zusammenfallen. 

 Wellen mit dieser Eigenschaft nennt man 

 ,,homogene" Wellen nach einem Vorschlage 

 vonVoigt. Sie spielen in der Physik durch- 

 aus die Hauptrolle ; es gibt aber auch Wellen, 

 die diese Eigenschaft nicht besitzen, bei 

 denen z. B. die Flachen konstanter Phase 



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