Wellenausbreitung und Welleninterferenz 



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Wir wollen diesen Sachverhalt jetzt 

 analytisch ausdriicken. Die beiden Wellen 

 mogen derEinfachheit halber die Amplitude 1 

 haben. Wir konnen dann ansetzen: 



70) 



o 



==cos 2m js-- -r 



= cos 



Wir wollen ferner annehmen, daB die 

 Differenzen A' A", sowie T'--T" sehr 

 klein seien. Zunachst kann man (70) 

 schreiben: 



71) 



==cos 



. . 

 xl=cos-jr(vt x); 



27T 



C. ^w V I fit v ,|-,,, . 



2 = cos '%' \T" x j = cos I 77 ( v t ~ x ) 



A' A" 



da m7 = v', -,,-,- = v" nach Gleichung (9) 



sind. Setzen wir noch zur Abkiirzung: 

 so haben wir endlich: 



7O\ fc on? lYv't TV rnc: l"/V"t v^ 



I uj <, j tjUo 1 ^ V I 2j , ^2 lUb 1 ^ V L ~- AJ. 



Das Resultat der Superposition ist: 



rl'v' l"v" 1' 1" J 



73) |=^+| 2 =2cos[- 2 - -t- -g-xj. 



/lV4-l"v" l'+l" \ 

 CO T 2 -* 2-4 



Nach Voraussetzung sind 1', 1" sehr nahe 

 gleich, also auch v' und v" ; der erste Faktor 

 ist daher mit der Zeit langsam, der zweite 



IV 4- l"v" 

 rasch veranderlich. ist ange- 



a 



nahert IV, l'+l" angenahert 1', also 

 kann man schreiben: 



jlV l"v" 1' 1" 

 75) = 2 cos I -s- - t - -s 3 



.cosl'(v't x). 



Der letzte Faktor stellt eine der ursprung- 

 lichen Wellen dar; aber die Amplitude 



(IV 1'V 1' 1" ) 



2 cos K -t n xj 



(4 * } 



ist jetzt zeitlich langsam variabel, 

 d. h. die Gestalt der Wellengruppe 

 andert sich. Fassen wir nun irgendein 

 Merkmal der Gruppe ins Auge, so bietet 

 sich dafur zwanglos das Maximum der 

 Amplitude dar, das z. B. fur x = und 

 t = eintritt, d. h. das fur t = im Anfangs- 

 punkte liegt. Dasselbe ist an eine Stelle x 

 fortgeruckt zu einer spateren Zeit, t, so 

 daB: 



keit der maximalen Amplitude; diese GroBe 

 nennt man ,, Gruppengeschwindigkeit". 

 Wir wollen sie durch v g bezeichnen. Wir 

 haben dafiir aus (76): 



x iv __ l"v" 

 77) v, - = 



' t V - - 1" ' 



und, wenn man die Differenz zwischen V 

 und 1" unbegrenzt abnehmen laBt: 



d(lv) 



v - - 



dl ' 



setzen wir fur 1 noch seinen Wert 2jr/A ein, 

 so ist endgiiltig: 



nc\ 



76) 



IV _ l"v 



x v i v 



1' __ 1 



. 



x ist; 



Diese Formel riihrt von Lord Rayleigh 

 her; sie zeigt deutlich, daB die Gruppen- 

 geschwindigkeit stets dann verschieden von 

 der Phasengeschwindigkeit ist, wenn letztere 

 eine Funktion derWellenlange ist, d. h. wenn 

 Dispersion vorhanden ist. Die Nichtbeach- 

 tung dieses Umstandes hat manchmal zu 

 falschen Interpretationen der Beobachtung 

 gefiihrt. 



Fiir die Biegungswellen eines Stabes ist 

 z. B. nach Gleichung (28) die Phasen- 

 geschwindigkeit in folgender Weise von der 

 Wellenlange abhangig: 



v = 



also ist 



= v/A. 



also ist x/t die Fortpflanzungsgeschwindig- 



Also ist die Gruppengeschwindigkeit in 

 diesem Falle: 



,dv 



v *== v --*dl =2v ' 



d. h. doppelt so groB, wie die Phasen- 

 geschwindigkeit. Es gibt ubrigens auch 

 Falle, in denen die Gruppengeschwindigkeit 

 negativ werden kann. 



13. Dopplersches Prinzip. Im Jahre 

 1842 hat der Physiker Doppler ein Prinzip 

 ausgesprochen, das fur die ganze Physik 

 von groBer Bedeutung geworden ist. Dieses 

 Prinzip, dessen genauere Formulierung wir 

 weiter unten geben werden, sagt im wesent- 

 lichen aus, wenn wir es einmal fur Schall- 

 wellen spezialisieren, daB die Tonhohe einer 

 Schallquelle sich andert, wenn der Be- 

 obachter und die Schallquelle gegeneinander 

 bewegt sind. Der exakte Beweis dieses Ge- 

 setzes wiirde viel zu umfangreiche Rech- 

 nungen erfordern, weshalb wu 1 uns hier da- 

 mit begniigen werden, es plausibel zu 

 machen. 



In der Figur 23 sind eine Schallquelle 

 und ein Beobachter in fester Entfernung 

 angenommen. Der ganze Abstand ist mit 



