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Plivsikalisc-he GroBen 



vektor r (Fig. 6). Dies ist ein Vektor; der 

 uns die Entfernung von einem festen Auf- 

 punkt A bis zu einem beliebigen Punkt B 

 im Raume angibt und zwar nach Grofie und 

 Richtung, wobei letztere positiv von A aus 

 gerechnet wird. Dieser Vektor ist als ty- 

 pischer Repriisentant soldier Vektoren zu 

 betrachten, die nur eine bestimmte Richtung 

 (mit dem entsprechenden Betrag) charak- 

 terisieren. Solcbe Vektoren nennt man 

 polare. Es gibt aber auch Vektoren, die 

 niclit nur eine Richtung sondcrn auch einen 

 Drehungssinn, oder eine Umlaufsrichtung 

 urn den Vektor als Achse angeben. Solche 

 Vektoren bezeichnet man als axiale. Der 



Fig. 6. 



Fig. 7. 



Unterschied der polaren und axialen Vek- 

 toren ergibt sich aus ihrem Verhalten in 

 bezug auf die sogenannte Inversion. Unter 

 Inversion verstehen wir die Vertausehnng 

 der Richtungen plus und minus bei alien 

 drei Achsen, d. h. eine Spiegelung um den 

 Koordinatenani'ang. Fiihren wir eine In- 

 version bei einem Rechtssystem aus und 

 drehen das neue Koordinatensystem um den 

 Anfangspunkt, bis die neue Z- Achse mit der 

 friiheren zusammenfallt, so sehen wir, daB 

 wir durch die Inversion von einem Rechts- 

 system zu einem Linkssystem iibergcgangen 

 sind. 



Bezeichnen wir die entsprechenden 

 GroBen nach der Inversion durch Striche, 

 so sind die neuen Gnnidvektoren i', j' und !' 

 gegeben durch 



Ist 9( ein polarer Vektor, so werden seine 

 Komponenten Aj, A 2 , A 3 bei der Inversion 

 einfach ihr Zeichen wechseln. D. h. es wird 



sein 



(6) A' 1= -A i; A a '= -A 2 ;A 3 '= -A.. 

 Hieraus folgt wegen (3) 



(7) 91= A 



Anders ist es beim axialen Vektor. Bei 

 demselben erhalten wir nach der Inversion 



(8) Aj = A. 1 ', A 2 = A 2 ; A 3 = A 3 

 und demnach statt (7) 



(9) A 1 i + A 2 i + A 3 f= -A/i-A^i'-As'f 



Um also hierbei den richtigen Wert des 

 Vektors aus seinen neuen Komponenten nach 

 der Inversion zu erhalten ; miissen wir bei den 

 neuen Komponenten das Zeichen wechseln. 

 Wir werden weiter unten die Beziehung (8) 

 noch genauer begrtinden. 



7. Vektorielles und skalares Produkt. 

 Wir betrachten ein Flachenelenient df und 

 nehmen eine Seite desselben als positiv an. 

 Auf dieser Seite errichten wir als Normale 

 den Einheitsvektor n, dessen positive Rich- 

 tung vom Flachenelement nach auBen 

 angenommen wird. Das Flachenelement 

 wird von einerKurve begrenzt, deren positive 

 Umlaufsrichtung einer rechtslaufigen Dre- 

 hung (im Sinne des Ulirzeigers) entspricht, 

 falls wir langs n blicken. Wir bezeichnen das 

 Flachenelement durch den Vektor df, dessen 

 Betrag df gleich dem Flacheninhalt des 

 Elementes ist und dessen Richtung mit n 

 zusammenfallt (Fig. 7). Ein soldier Vektor 

 wird nach dem Vorhergehenden ein axialer 

 sein, wie wir dies sofort sehen werden. Wir 

 betrachten nun ein Parallelogramm, ge- 

 bildet. aus den Vektoren 91 und 23 (Fig. 8). 

 Die Fliiche dieses Parallelogramms zerteilen 

 wir in kleine Flachenelemente und bilden 

 aus denselben die eben erwahnten Vektoren 

 df. Haben alle df denselben Umlaufssinn, 

 so ergibt die Summe aller Vektoren df einen 

 axialen Vektor, dessen Betrag gleich dem 

 Flacheninhalt ABsin(9t93) des Parallelo- 

 gramms ist, und dessen Richtung normal 

 zu der Ebene der Vektoren 9( und 93 ist und 

 infolge des angenommenen Umlanfssinnes 

 (der Pfeil in Fig. 8) zum Beschauer hinweist. 



Ks wird also nach der Inversion ein po- 

 larer Veklor durch seine neuen Knnipo- 

 nenten auch riehlig dargestellt, oder mit 

 aiuleren Worten der Ausdruck rechts in (7) 

 bleibt bei der Inversion invariant. 



Fig. 8. 



Diesen neuen Vektor <$, bezeichnet man mit 

 (10) G = [9(33] 



und versteht u nter diesem Ausdruck das 

 vektorielle Produkt oder Vektorpro- 

 dukt der beiden Vektoren 91 und 33. Hieraus 

 und aus der Kenntnis des Betrages und der 

 Richtung von E erhalten wir, falls 9( und 33 

 zwei von den Gnnidvektoren sind, 



