Phvsikalische GroBon 



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(11) [H] = o;[ii] = o;[H] = o;[ii] = T; 



[jf] = i;[ti] = j 



Es seien nun 91 und 93 in (10) zwei Vek- 

 toren, die durch (3) gegeben sind. Fiihren 

 wir diese in (10) ein und multiplizieren sie 

 vektoriell unter Beriicksichtigung von (11), 

 so erhalten wir 



(12) 6 = Cit + C 2 i + C 3 ! 

 wobei 



(13) C 1 =A,B 3 B,A 3 ;C 2 =A 3 B 1 B 3 A i; 



C 3 = A 1 B 2 BiA 2 



sind. Fiihren wir nun eine Inversion aus, 

 dann wird, falls 91 und 93 polare Vektoren sind, 

 sein A,'= -A,, B 3 ' = - B 3 usw. D. h. 

 (V = Cj; C 2 ' = C 2 ; C 3 ' = C 3 . Ein Vergleich 

 mit (8) ergibt, daB tatsachlich ein axialer 

 Vektor ist. 



Wir denken uns einen Korper um einen 

 festen Punkt M (Fig. 9) durch eine Kraft ffi, 



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8. Beispiel. Wir wollen jetzt an einem 

 Beispiel, niimlich der Berechnung des Schwer- 

 punktes eines starren Korpers, das Vorher- 

 gehende erlautern. 



Bedeutet g die Erdbeschleunigung, so ist 

 die Grb'Be der Schwerkraft, die auf das 

 Massenteilchen in wirkt, gleich mg. Die 

 Kraft t selbst ist gegeben durch t = mgc ', 

 falls c den Einheitsvektor in der Richtung 

 der Schwerkraft bedeutet. Die Gesamt- 

 kraft ft, die auf den Korper wirkt, ist demnaeh 

 gleich 



(16) f = St = Smgc 



wo das Summenzeichen S eiue Sum- 

 mation iiber alle Teilchen des Korpers be- 

 deutet. Da g und c konstant fiir den ganzen 

 Korper sind, so konnen wir statt (16) auch 

 schreiben 



Fig. 9. 



welche an eineni Punkt P des Korpers an- 

 greift, gedreht. Bezeiclmet r die Ent 1'ernung 

 von M bis P, M als Aufpunkt aufgefafit, so 

 ergibt das Produkt G = [rft] das Moment der 

 Kraft ft in bezug auf den Punkt M und ist 

 ein Vektor, dessen Achse mit der Momenten- 

 achse zusainmenfallt. Hat die Kraft & 

 das entgegengesetzte Vorzeichen, so wechselt 

 das Moment sein Vorzeichen und ebenfalls 

 das Produkt E, was dadurch ausgedriickt 

 wird, daB man schreibt [St]. Es ist deshalb 

 allgemein 

 (14) [91*]= --["M] 



AuBer einem vektoriellen Produkt gibt 

 es noch ein sogenanntes skal ares Produkt 

 zweier Vektoren 91 und 33. Dieses Produkt 

 ist, wie seine Benennung schon zeigt, ein 

 Skalar und wird durch 9193 bezeichnet. Der 

 Wert desselben ist gleich dem Produkt der 

 Betriige der gegebenen Vektoren, inulti- 

 pliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen 

 Winkels. D. h. 



' (15) 91* = AB cos (9193) 



Sind demnaeh 91 und 93 senkrecht zu- 

 einander, so ist deren skalares Produkt gleich 

 Null, wahrend das vektorielle Produkt dann 

 verschwinclet, wenn 91 und 93 gleiche Eich- 

 tung haben, wie wir dies in (11) gesehen 

 haben. Bezeichnet z. B. dA die Arbeit einer 

 Kraft fi' lans's des Wegelementes dl, so ist 

 also dA = Ml. 



(17) 



f = gc Sm = gc M 



E[tt] = S[rmgc ] = 



und c konstant sind, so folgt 



wo M die. Gesamtmasse des Korpers bedeutet. 

 Nun denken wir uns den Korper am Schwer- 

 punkt aufgehiingt. Er muB sich dann im 

 (.Heic-hgewicht befinden, d. h. aber: die 

 Summe der Moments aller Kraft e t, den 

 Schwerpunkt als Momentenpunkt aufgefaBt, 

 muB gleich Null sein. Bezeichnet demnaeh r 

 den Radiusvektor yom Schwerpunkt als 

 Aufpunkt, bis zu einem Teilchen, so muB 

 demnaeh sein 

 (18) 



Da aber 

 aus (18) 

 (19) g[c Smt] = 



Nun konnen wir den Korper beliebig 

 um den Schwerpunkt drehen. Immer nuiB 

 er sich im Gleichgewicht befinden. Nun sind 

 die r fest mit dem Korper verbunden, wo- 

 raus folgt, daB c eine beliebige Lage zu 

 den v annehmen kann. Da aber hierbei 



(19) immer erfiillt sein muB, so schlieBen wir 

 aus (19), daB dies nur dann moglich ist, wenn 



(20) Smr = 



ist. Durch (20) ist die Lage des Schwerpunktes 

 gegeben. Denn bezeichnen wir durch 

 (Fig. 10) den Schwerpunkt und durch A einen 



beliebigen festen Punkt im Raume, so folgt 

 aus der Figur fiir ein Teilchen m 

 (21) r' = 9t + r 



Der Radiusvektor SRbestimmt den Schwer- 



