864 



Phvsikalische GroBeu 



punkt und die r' die Lagen der einzelncn 

 Teilchen. Aus (21) ergibt sich r = r' - 

 Setzen wir diesen Wert fiir r in (20) ein, so 

 erhalten wir 



(22) Sim' = SRSm = SRM 



In der Tat ist hierdurch 9t bestimmt, denn 

 M und die r' sind uns bekannt. 



Bezeichnen wir durch x den Abstain! eines 

 Teilchens von einer Ebene E, die durch den 

 Schwerpunkt geht, so ist bekanntlich Smx 

 = 0, wobei x positiv oder negativ sein kann, 

 je nachdem auf welcher Seite von C das 

 entsprechende Teilchen liegt. Dieses laBt 

 sich sofort aus (20) nachweisen. Zu dem 

 Zweck zerlegen wir r in zwei Vektoren, tj 

 in der Ebene C und r 2 senkrecht dazu. Da 

 nun r = t! + r 2 ist, so folgt aus (20) 



(23) Sim,. + 2mr 2 = 0. 



Nun liegen die r, in der Ebene C und die r 2 

 senkrecht dazu. Demnach stellt das erste 

 Glied in (23) einen Vektor dar, der in der 

 Ebene C liegt und das zweite Glied einen 

 zur Ebene C senkrechten Vektor. Die 

 Summe zweier zueinander senkrechten Vek- 

 toren kann aber nur dann verschwinden, 

 \venn jeder einzelne Vektor gleich Null ist. 

 D. h. es ist 



(24) Smr 2 = 



Wodurch der Satz Smx = bewiesen ist, 

 Welter folgt aus (23) 



(25) Smt, = 



Hierbei sind unter m alle Teilchen des 

 Korpers verstanden, wahrencl i 1 in der Ebene 

 C liegt. Stellen wir uns nun eine flachen- 

 hafte Massenverteilung vor, so ergibt uns (25) 

 die Mbglichkeit den Schwerpunkt einer 

 ebenen Flache zu finden. Legen wir durch den 

 Schwerpunkt dieses ebenen Fliichenstiickes 

 in der Ebene clesselben eine Linie und be- 

 zeichnen durch y den Abstand eines Massen- 

 teilchens von dieser Linie, so wird bekannt- 

 lich Siny = sein. Dies folgt auch sofort 

 aus (25). Denn zerlegen wir r t in zwei zu- 

 einander senkrechte Vektoren, tj', der in die 

 obise Linie fiillt, und r/' senkrecht dazu, so 

 folgt aus (25), da r t = r L ' + r/' ist 



(26) Smti' + Sim/' = 

 hieraus ergibt sich, analog wie friiher, 



(27) Sim," = 



was dem zu beweisenden Satze Smy = ent- 

 spricht, und 



(28) Sinr/ = 



wodurch der Schwerpunkt einer Linie be- 

 stimmt wird. 



9. Tensoren. Wir wollen noch eine Kl.i-sc 

 von Vektoren untersuchen, die ebenl'.-ills 

 sehr liaufig in der Physik vorkominen und 

 dort eine sehr wichtige Rolle spielen. Es 

 sind dies die sogenannten Tensoren. 



Urn die Eigcnschaftcn der Tensoren zu 



veranschaulichen, denken wir uns eiuen 

 Radiusvektor r von der Lange Eins von 

 einem festen Aufpunkt gezogen. Wir bilden 

 aus t und einem beliebigen Vektor 91 das 

 Vektorprodukt 93 = [9lr ]. Aendern wir nun 

 die Richtung von r , so andert sich hierbei 

 die Richtung und der Betrag yon 93. Wir 

 konnen deshalb sagen 93 ist eine Funktion 

 von r . Es wird aus diesem Beispiel verstand- 

 lich sein, wenn wir ganz allgemein von einem 

 Vektor 91, als einer Funktion von r sprechen 

 und demnach schreiben 



(29) 91 = f(r ) 



Wie wir aus dem angefuhrten Beispiel 

 schon gesehen haben, braucht die Richtung 

 von r nicht mit der Richtung von 91 zu- 

 sammen zuf alien. Denken wir uns nun uin 

 den Aufpunkt als Mittelpunkt eine Kugel- 

 flache mit dem Radius Eins beschrieben, 

 so wird sich der Endpunkt von r , bei will- 

 kurlicher Aenderung der Richtung von t , 

 auf dieser Kugelflache bewegen. Wahrend- 

 ilesscn bewegt sich der Endpunkt von 91, 

 welchen Vektor wir auch von demselben 

 Aufpunkt aus aufgetragen denken, langs 

 einer Flache, deren Form von der Beziehung 

 zwischen 9t und r abhiingen wird. 



Es sei A (Fig. 11) der Aufpunkt und r 



Fig. 11. 



und t ' zwei verschiedene und zwar beliebige 

 Lagen von r und X'l und 91' die entsprechenden 

 Lagen von 9(. Wir bilden nun die skalaren 

 Produkte 9t'r und 9lr ' und nehmen an, daB 

 die Beziehung (29) zwischen 91 und r von 

 solcher Beschaffenheit ist, daB die Gleichung 



(30) 



9(r n ' = 9t'r n 



i miner erfiillt sein wird. Ist nun (30) stets 

 erfiillt, so beschreibt der Endpunkt von 91, 

 wie man dies nachweisen kann, ein Ellipsoid. 

 Einen solchen Vektor, der den Bedingungen 

 (29) und (30) geniigt, nennt man einen Ten- 

 sor. Hierbei daff man aber unter einem 

 Tensor nicht etwa einen Wert von 9t bei 

 einer bestimmten Richtung yon r ver- 

 slehen, sondern die Gesamtheit der Werte 

 von 9( bri alien moglichen Richtungen von 

 , r , d. h. die Funktion (29), oder gewissermaBen 

 die Kugel und das Ellipsoid zusammen. 



