Prinzipien cler Phy.sik 



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hervorgerufenen Reaktionen unbekannt. Zur 

 Bestimmung der Gleichgewichtslagen eines 

 solchen Punktsystems ist von Joh. Ber- 

 noulli eine Regel aufgestellt worden, die das 

 Prinzip der virtuellen Geschwindig- 

 keiten (besser: Verriickungen) heiBt. 

 Sind Xj, Y;, Z; die Komponenten der Kraft, 

 die auf den Punkt mit den Koordinaten 

 Xi, yi, z, wirkt und sind <3x;, <5y;, dzi die 

 Komponenten einer unendlich kleinen Ver- 

 riickung, so tritt Gleichgewicht claim und 

 nur dann ein, wenn die Suiume cler vir- 

 tuellen Arbeiten 



2(X i( 5Xi + YidVj-f ZidZi) = 1) 



i 



ist fiir alle virtuellen, d. Ii. mit den Koppe- 

 lungen vertraglichen Verriickimgen; wegen 

 der Kleinheit derselben kann man die Koppe- 

 lungen in der Form: 



S(a,kdx n -f bik<5y n + Cik<)z n ) =0 2) 



i 



ansetzen. Hieraus ergeben sicli soviel 

 Gleichiingen, als unbekannte Koordinaten 

 da sind. 



Bedeutet z. B. bei der eiufachen Rolle x die 

 vertikale Richtung nach iinten, X, die Last an 

 einem, X., die am andereii Seilcndr, so brstrht 

 einerseits zwischen den Verriickungen <5x,, <>x.j 

 der beiden Lasten wegen der Seilverbindung die 

 Beziehung 



<Jx, + Sx. = 0, 



andererseits gilt nach dem Prinzip 

 X^x, + X,<5x, = 0. 



Aus beiden Gleichungen folgt durch Elimination 

 von (Jx, 



wobei die rechten Seiten die aus den 

 Koppelungen entstehenden Reaktionen be- 

 deuten. 



Sd hat man z. II. bei der Rolle 

 X! = Ji, X 2 = I, 



d. h. das Sell reagiert an beideu Emlen mit 

 gleichen Knillcn. 



Audi die statische Reibung laBt 

 sich unter das Prinzip subsummieren. 



Wesentlich ist die Verallgerneinerung des 

 Prinzips auf die Mechanik der Kontinua; 

 hier sind die Volumkrafte X, Y, Z und die 

 Verriickungen c5x, <5y, dz als stetige Funk- 

 tioneu der Koordinaten x, y, z anzusehen. 

 Neben diese Volumkrafte aber treten Flachen- 

 kriifte oder Spannungen: seien X x , Y x , Z x 

 die Komponenten cler Flachenkraft, die auf 

 ein Flachenelement senkrecht znr x-Achse 

 wirkl. Diinn lautet das Prinzip so: 



/'/'/'((Xax+ Y5v- 



f ' 1 1 ( I I 



also wegen der Willkiirlidikeit von dx,:X,= 

 X 2 ;die beiden Lasten miissen im Gleichgewirhts- 

 falle gleich sein. 



Fiir dieses Priuzip sind auBerordeiitlich 

 viele ,,Beweise" gegeben worden (die be- 

 riihmtesten von Lagrange), d. h. Zuriick- 

 fiihrnngen auf einfachere Axiome. Doch berulit 

 die Ueberzeugung von seiner unbeschriinklen 

 Giiltigkeit wohl mehr teils auf der Ueber- 

 einstimmung mit der Erfahrung in unge- 

 zahlten Fallen, teils auf energetischen Be- 

 trachtungen, die daranf herauslaufen, daB 

 bei verschwindender virtueller Arbeit aus 

 der Ruhe keine kinetische Energie, also 

 keine Bewegung entstehen kann. Eine Ver- 

 allgemeinerung des Prinzips auf ,,einseitige" 

 Bedingungen, wo in (1) statt des Gleich- 

 heitszeichens das Zeichen <; tritt, fiihrt den 

 Namen Fouriers. 



Lagranges Multiplikatorenmethode lie- 

 fert die Gleichgewichtsbeclingungen aus (1) 

 und (2) in der Form 



Xi=S7. k a ik) ... 3) 



fl(x v fiy . 7 fi 



~ AX T~ ^x 



ox dx ,-> 



-1) 



wo das Integral liber das Volumen des Kcirpers 

 zn erstrecken ist. Koppelungen werdeii liier 

 im allgemeineu keine Rolle spielen. Dagegen 

 |itli'^i man u'i'wisse unstetige Verriickungen 

 zu/ulassen, n;imlich solche, bei denen ein 

 Teil des Kcirpers starr verriickt win!, wiihrend 

 der Rest in Ruhe bleibt; daraus folgen dann 

 die Symmetriebedingungen dor Spainiiiii2;s- 

 komponenten: X y =Y x ,X z =Z x , Y z =Z y . Die 

 Gleichgewichtsbedingungen aber lauteii: 



X = 



ox 



ay 



oz 



Das ist das allgemeiue Scliema fiir alle sta- 

 tisclieii Probleme der Jlechanik der Kon- 

 tinua. 



2b) Dyiiamik. Aus demstatischenGrund- 

 prinzip entsteht das dynamische (lurch 

 Hinznfiigung der Tragheitskrafte. Wir be- 

 zeichnen Differentiation nach der Zeit (vgl. 

 den Artikel ,,Infinitesimalrechnung") 

 clurcli Punkte iiber den Buchstaben: ist 

 z. B. x eine veranderliche Lange, so ist x 

 die Gescliwindigkeit, x die Beschleuniguno- 

 ihres Endpunktes. Sind x;, y;, z; die Be- 

 schleunigungskomponenten, nn die Masse 

 eines Punktes, so treten als Wirkung der 

 Triitcheit zu den iibrigen Kriiften die fol- 

 gen den: 



in,Xi, nijyi, iiii/j. 



Dann erhalt man das d'Alembertsche 

 Prinzip fiir ein Punktsystem in der Form: 



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