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Prinzipien der Physik 



S [ (Xi miXi)<5Xi + ( Y, miyi)dyi 



+ (Zi miZi)<Jzi] = 0; 6) 



es ist ebenso aufzufassen, \vie das Prinzip 

 der virtuellen Verriickungen. 



Das Prinzip enthalt, wenn keine Koppe- 

 lungen da sind, dieerstenbeiden ,, leges motus" 

 von Newton. Sind aber Koppelungen vor- 

 handen, erhiilt man die Bewegungsgieiclnin- 

 gen erster Art von La grange: 



niiXi = X; + SAka ik , ... 7) 



k 



wo die /Ik die Koppelungsreaktionen sind. 

 Bei der Rolle erhalt man z. B. 



m,X, = Xj + 1, m,.\, = X 2 + }.; 



da aber immer x, + x ; = konst., also x, = x., 

 sein muB, so folgt durch Elimination von x,: 



(ni; + m,)*! = X, X,. 



d. h. die Lasten bewegen sich so wie ein freier 

 Kijrper, dessen Masse gleich der Sumnie der 

 Ma^en ist und auf den als &aft die Diiirrunz 

 der beiden Lasten wirkt. 



Ganz entsprechendes gilt fiir die Meclianik 

 der Kontinua; man hat nur in (4) und (5) 

 X,... durch X mxj zu ersetzen. 



Wahrend diese Prinzipien Variationen 

 ganz formaler Art erfordern, hat GauB 

 ein iiuBerlich ganz ahnliches \virkliches 

 Miniinalprinzip ersonnen, das Prinzip des 

 kleinsten Zwanges. Dieses besagt: Ein 

 Punktsystem bewegt sich so, daB der Xwang 



+ (Yi nv'i)- 



(Z, - 



verschwindet fur alle Nachbarbewegungen, 

 die fur tj, t 2 gegebene Lagen haben. Das 

 Integral hat ein wirkliches Minimum, \venn 

 tj, t 2 sehr benachbart sind, sonst nicht 



(vgl. 1, 7). 



Im Falle der Punktmechanik ist T eine 

 quadratische Form (d. h. eine Sumnie von 

 Quadraten der Xj oder von Produkten je 

 zweier der x;, jedes solche died mit einem 

 Koet'fizienten versehen), deren Koeffizienten 

 von denKoordinatenx, abhangen; Tjistirgend- 

 eine Funktion der letzteren. Die Bedeutung 

 dieses Prinzips liegt darin, daB es filr jede 

 Wahl von Koordinaten xi gilt, mogen diese 

 unabhangig oder abhangig sein; ini letzteren 

 Falle miissen die Koppelungen geho'rig 

 beriicksichtigt werden. Man erhalt dann 

 die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 

 zweiter Art: 



dt 







die man auch direkt aus denen erster Art 

 ableiten kann. 



In der Mechanik der Kontinua sind T 

 uncl F raumliche Integrate, deren Inte- 

 granden von den raumlichen und zeitlichen 

 Differentialquotienten der Yerschiebuniien 

 abhangen. Die Giiltigkeit des Prinzips 

 folgt d'araus, daB es in den direkter Betraeh- 

 tung zugangliehen Fallen die richtigen Be- 

 wegniigsgleichungeii liefert. Das Prinzip 

 hat aber eine weit ttber die reine Mechanik 

 liinausgehende Bedeutung. In fast alien 

 Gebieten der Physik lassen sieh die Grund- 

 gesetze durch Minimalprinzipien dieser Form 

 darstellen. In der Mechanik selbst hat das 



kleinsten Wirkung (ein Name, der oft 

 auch fiir das Hamiltonsche Prinzip ge- 

 braucht wird); es lautet: Die Yariation 

 des Integrals 



/Tdt 



f / 



fiir die wirkliche Bewegung in einem beliebi- 



gen Moment t kleiner ist als fiir alle anderen ' Pnnzip manmglache Umgestaltiingen er- 



virtuellen Bewegungen, die im Moment t fahren. Eine solche ist das Prmzip de 



dieselben Koordinaten und Geschwindig- 



keiten haben. Man sieht leicht, daB diese 



Forderung mit dem d'Alembertschen Prin- 



zipe iiiiiiivalent ist. 



II. Hertz hat seinein Versnche, eine 

 Mechanik ohne den Kraftbegriff aufzubauen, 

 ein ganz ahnliches Prinzip, das Prinzip 

 der geradesten Bahn, zugrunde gelegt. 



Eigentliche V a rial iousprinzipe 

 nennt man solche, bei denen die Krwcmnm 

 durch das Yerschwinden der Variation eines 

 bestimmten Integrals charakterisiert ist. 

 Das wichtigste ist das Hamilton sc IIP 

 Prinzip; dieses laiitet so: 



Sei T die kinetische, U die potenticlle 

 Energie eines mechaiiischen Systems irgeud- 

 welciier Art. Dann findet die Bewegung so 

 statt, daB die Variation des zwischen zwei 

 gegebenen Zeitpunktcn t,, t, erstrecktcn 

 Integrals 



t 



verschwindet fiir alle (wie oben defiuierten) 

 zuliissigeii Yariationen, wclclic die Total- 

 en ergie 



J(T-U)dt 



9) 



lassen. 



.lakobi hat ein Prinzip aufgestellt, wel- 

 ches nicht die Zeit, sondern nur geome- 

 trisehe Gro'Ben enthalt. Andere Formen des 

 Prinzips beruhen auf der Hinzufiigung ver- 

 se hicilcner Nebenbedingungen. 



Audi die Gesetze der neuen Mechanik, 

 die dem Einsteinschen Relativitatsprinzip 



