Pendel 



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Fier. 1. 



sollen zunachst nur ebene Bewegungen be- 

 trachtet werden, und es wird daher ange- 

 nommen, daB der Massenpunkt um eine 

 durch gehende feste Achse, die senkrecht 

 zur Zeichenebene (Fig. 1) zu 

 denken ist, frei drehbar sei; 

 werde kurz als Drehpunkt des 

 Pendels bezeichnet. 



Befindet sich das Pendel 

 in Rulie, so hangt der Massen- 

 punkt vertikal unter dem Dreh- 

 punkt; denn die Verbindungs- 

 linie des Massenpunktes mit 

 muB in diesem Falle in die 

 Eichtung der Schwerkraft 

 9 fallen, weil diese sons* ein 

 Drehungsmoment um die Dreh- 

 achse ausiiben wiirde. Um 

 die Bewegungsgleichung des 

 Pendels aufzustellen, bezeich- 

 nen wir die Masse des beweglichen Punktes 

 P mit m, die Lange der Verbindungs- 

 linie OP (Pendellange) mit 1 uud den 

 Winkel, den sie mit der Vertikalen in bildet, 

 mit 99 (Ausschlag des Pendels); 99 wird 

 auf der einen Seite der Vertikalen, etwa 

 der rechten, als positiv, auf der anderen als 

 negativ gerechnet. Nimint nun der Ausschlag 

 99 wahrend der Zeit tit um den Betrag d<p zu, 

 so haben, da der Punkt P sich nur auf einem 

 Kreise mit dem Radius 1 um als Mittelpunkt 

 bewegen kann, die lineare Geschwindigkeit 

 und die Beschleunigung von P die Werte 



-=2 und -j-J- oder Irfj und 1^ (durch ttber- 



gesetzte Punkte sollen im folgenden stets 

 Ableitungen nach der Zeit t bezeichnet wer- 

 den) und ihre Eichtung ist durch die Rich- 

 tung der Kreistangente in P gegebeu. Am 

 Punkte P greift die Kraft mg an, wenn man 

 mit g die Grb'Be der Sehwerebeschleuniguug 

 am Beobachtuugsort bezeichnet. Von dieser 

 Kraft wird aber nur die Komponente mg sin 95 

 in del Eichtung der Kreistangente beschleu- 

 nigend oder verzogernd wirksam, so daB 

 die Bewegungsgleichung mit Beachtung der 

 Richtung der wirksarnen Kraftkomponentc 

 lautet : 



ml 9; + mgsin <p = 0. (1) 



Beschrankt man sich auf sehr kleine Aus- 

 schlage (streng genommen unendlich kleine), 

 so kann man 511199 durch den Bogen 99 ersetzen 

 und erhalt dann die typische Gleichung fiir 

 ungedampfte kleine Schwingungen: 



die Summe aus kinetischer Energie (leben- 

 diger Ivraft) und potentieller Energie (Energie 

 der Lage) wahrend der Bewegung konstant 

 ist. Wie oben angegeben, ist die lineare 

 Geschwindigkeit von P gleich 1^ und daher 



die lebendige Ivraft 



mi 199)2 



Um die poten- 



(2) 



Daes feiCii bei der hier betrachteten Pendel- 

 bewegung um ein mechanisches System mit 

 einem Freiheitsgrad handelt, so laBt sich 

 die Bewegungsgleichung auch aus dem Energie- 

 satz allein ableiten, der aussagt, daB 



tielle Energie anzugeben, muB man zunachst 

 eine Lage festsetzen, fiir die sie Null sein soil. 

 Wahlt man als solche, wie es am naturlichsten 

 ist, die Ruhelage des Pendels, bei der P seine 

 tiefste Stelle einnimmt, so ist die potentielle 

 Energie die Arbeit, die man aufwenden muB, 

 um P von der tiefsten Stelle in die augen- 

 blickliche Lage zu befordern. Da bei dem 

 Ausschlag 99 sich der Punkt P um den Betrag 

 I(l-cos99) oberhalb der tiefsten Stelle befindet 

 und da nur bei vertikalen Bewegungen gegen- 

 iiber der Schwerkraft Arbeit zu leisten ist, 

 so ist die potentielle Energie mgl(l cos 99) 

 und die Bewegungsgleichung lautet daher: 



+ mgl (1 cos 93) = Konst. (3) 



Differenziert man diese Gleichung nach t, 

 so kommt man auf die Gleichung (1) zuriick. 

 Der Energiesatz leistet daher bereits eine 

 j Integration dieser Gleichung. 



Der allgemeine Charakter der peiidelndeu 

 Bewegung ist uns aus taglichen Beobach- 

 tungensehrgelaufig. Entferntman das Pendel 

 um einen bestimmten Winkel 99,, aus der 

 Ruhelage und iiberlaBt es dann sich selbst, 

 so wird es in beschleunigter Bewegung 

 in die Ruhelage zuriickkehren, iiber diese 

 hinausschwingen und auf der anderen Seite 

 der Vertikalen in verzogerter Bewegung 

 bis zum Ausschlag q> ansteigen (Hin- 

 gang). Darauf findet eine Unikehr der 

 Bewegung statt, und es wiederholt sich 

 der Riickgang der Bewegung in analoger 

 Weise wie der Hingang, nur die Rich- 

 tung der Bewegung ist geandert. Aus Hin- 

 und Riickgaug setzt sich eine voile Schwin- 

 gung zusammen, die sich nun periodisch 

 uniinterbrochen wiederholt, wenn man von 

 alien storenden Einfliissen absieht. Mit 

 Riicksicht auf die Energie kann man also 

 die pendelnde Bewegung dahin charakteri- 

 sieren, daB bei ihr ein fortgesetzter perio- 

 discher Austausch zwischen kinetischer und 

 potentieller Energie stattfindet, deren Summe 

 konstant bleibt. Die Zeit eines Hin- oder 

 Riickganges bezeichnet man als Schwin- 

 gungsdauer des Pendels, die Zeit einer 

 vollen Schwingung als Periode. Es ware 

 physikalisch konsequenter, mit der Periode 

 zu rechnen, es ist aber allgemein iiblich, die 

 Schwingungsdauer anzugeben. 



Die in (3) auf der rechten Seite auftretende 

 Konstante kann man in einfacher Weise mit 

 dem maximalen Ausschlag 99,,, der Ampli- 

 tude der Pendelschwingung, in Beziehung 



