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Pendel 



Man hat demnach fiir 



setzen. Da die Gleichung (3) iii jedem Moment ^ _/j" 



gilt, so muB sie auch gelten, wenn das Pendel a ' so der n \l,' 



den maximalen Ausschlag w erreicht und 



umkehrt. In diesem Augenblick ist aber dle Schwingungsdauer T ernes Pendels bei 



m = und <p = w und die Konstante hat unendhch kleinen Schwingungen die funda- 



daher den Wert mgl(l cos<p ). Setzt man mentale Formel: 



diesen Wert in (3) ein, so ergibt sich als Be- 



wegungsgleichung : 



- + g(cos (p cos 99) = 0. 



,. in der 1 die Pendellange und g die Schwere- 

 ' beschleunigung bedeutet. 



Wenn man das Pendel in geeigneter 

 Weise in Bewegung setzt, kann man es er- 

 reichen, daB es einen vollen Kreis besclireibt, 

 also sich iiberschlagt. Diese Bewegungen, 

 die nicht im gewohnlichen Sinne als pendelnde 

 Bewegungen zu bezeichnen sind, sollen hier 

 nicht betrachtet werden, da fur die prak- 

 tischen Pendelbeobachtungen iiberhaupt nur 

 kleine Ausschlage aus der Euhelage in Be- 

 tracht kommeu. 



ib) Schwingungsdauer. Man kann die 

 Schwingungsdauer des PendeU, wenn man 

 sich auf unendlich kleine Schwingungen be- 

 schrankt, also die Gleichung (2) zugrunde 

 legt, auf relativ elementarem Wege ermittelu. 

 Man dcnke sich einen Ivreis mit clem Radius 

 r = \<p urn den Punkt M, in dem sich der 

 Massenpunkt des Pendels in der Ruhelage 

 bet'indet, beschrieben und einen horizontalen 

 Dttrchmesser gezogen, dessen rechter End- 

 punkt A sei. Man deuke sich nun, daB ein 

 beweglicher Punkt Q zur Zeit t = sich 

 in A befindet und den Ivreis mit der kon- 

 stanten Winkelgeschwindigkeit > durch- 

 lauft (Fig. 2), und betrachfe die Bewegung, 

 die der Punkt R, die Projektion von Q auf 

 den horizontalen Durchmesser, ausfiihrt. 

 Setzt man MR = x, so ist x = r cos c,t und 

 daher die Geschwindigkeit von R x = 



1< sin a>t und seine Beschleunigung x = 



rcu 2 cos cot. Es gilt daher 



x + w 2 x = 0, 

 eine Gleichung, die mit (2) identisch wird, 



Q 



Fig. _>. 



Dasselbe Resultat erhiilt man, wenn man 

 die Gleichung (2) vollstandig integriert, wie 

 in der Theorie der kleinen Schwingungen 

 gezeigt wird (vgl. den Artikel ,,Schwin- 

 gende Bewegungen "). 1st zur Zeit 

 t = der Ausschlag <p = <p und <p = 0, so 

 ergibt sich als Losung von (2): 



fp = 



\vie man auch leicht durch Einsetzen verifi- 

 zieren kann. Der Ausschlag des Pendels <p 

 ist also eine periodische Funktion der Zeit 



mit derPeriode 



2n: r 



-. Da die Schwingungs- 



wenn 



= l setzen und x = l 



Der 



dauer, wie oben ansegeben, gleieh der Halfte 

 der Periode ist, ergibt sich fiir sie der Wert (5). 

 Ist die Schwingungsdauer des Pendels 

 gleich 1 Sekunde, so bezeichnet man das 

 Pendel als Sekundenpendel und seine 

 Lange als Sekundenpenclellange L. Nach (5) 

 gilt fiir T = l: 



Punkt R wird daher bestandig mit dem 

 Massenpunkt des Pendels koinzidieren, wenn 

 die Anfangsbedingungen iibereinstimmen, 

 wenn tfir also annehmen, daB das Pendel 

 zur Zeit t = seinen groBten Ausschlag 

 auf der rechten Seite der Vertikalen erreicht. 

 Voraussetzung ist natiirlich stets, daB es 

 sich um unendlich kleine Pendelschwin- 

 gungen handelt, so daB man den Kreisbogen, 

 auf dem sich der Massenpunkt des Pendels 

 bewegt, als geradlinig (gleich dem horizon- 

 talen Durchmesser in Fig. 2) betrachten kann. 

 Die Schwingungsdauer des Pendels ist nun 

 offenbar gleich der Zeit, die der Punkt Q 

 gebraucht, um den Halbkreis zu durchlaufen. 



Die Aufgaben, die Schwerebeschleunigung 

 oder die Lange des Sekundenpendels zu er- 

 mitteln, sind daher identisch. Die Lange des 

 Sekundenpendels betragt ungefiihr 1 m. 



Von der Messung der Schwingungsdauer 

 wird spiiter die Rede sein. 



ic) Kint'luB der Amplitude auf die 

 Schwingungsdauer. Bei den Pendel- 

 beobachtuii.u'en zum Zweck von Schwer- 

 kraftsmessungen geniigt es nicht, die Schwin- 

 guugen als unendlich klein zu betrachten. 

 Es ist daher der EinfluB der Amplitude auf 

 die Schwingungsdauer zu ermitteln, was 



