Pendel 



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niiherungsweise auf folgendem Wege ge- 

 schehen kann. 



Ersetzt man in der strengen Gleichung (1) 

 sincp (lurch den Anfang seiner Reihenentwicke- 



ft ^ 



lung <p ^- und schreibt zur Abkiirzung n fiir 



/i_, so erhalt man die Gleichung: 



,r, 



g>-> =0 



(8) 



die um ein Glied genauer ist als die Gleichung (2) 

 fiir unendlich kleine Schwingungen. \\'ir ergiiiizen 

 nun die Losung (6) dieser Gleichung durch ein 

 Zusatzglied: 



<p = qp cos mt + cijpo 3 cos mt sin 2 mt 



das die Ordnung qp 3 hat, indeni wir durchweg 

 jetzt die 4. Potenz des Ausschlags vernach- 

 lassigen; ein Glied mit qp 2 ist wegen tier Symme- 

 trie der Pendelschwingungen zu beiden Seiten 

 der Vertikalen von vornherein fortgelasseu. 

 Dabei bedeuten m und c Kmistante, die in ge- 

 eigneter Weise bestimmt werden sollen. Wir 

 bilden 7.u diesem Zweck durch Differentiation 

 nach t: 



ep = m<j- (l + ciFo 2 ) sin mt 



+ Sracqpn 3 sin mt cos 2 mt 



if - m 2 <p (l 2e<jr' 2 ) cos mt 



9m 2 crp 3 cos mt sin 3 mt. 



Setzt man diese Werte in (8) ein und setzt 

 dann unter Vernachlassigung von <p 4 die Koeffi- 

 zienten von cos mtiindcos mtsin 2 mtfiirsichgleich 

 Null, so erhalt man fiir in unil c die be.iden 

 Gleichungen: 



m 2 (l 2cqv ! ) = 



c(9m 2 n 2 ) = ^. 



Da m 2 sich von n 2 nur um Gru'Ben von der Ordnung 

 qr 2 unterscheidet, kann man in der zweiten dieser 

 Gleichungen m 2 =n 2 setzen und erhalt dann 



c = . Setzt man diesen Wert in die erste Glei- 



chung ein, so folgt durch Wurzelauszielien und 

 Division: 



m n 16 



Da nun nach unserem Ansatz zur Zeit t = der 

 Ausschlag f~fi, und rf0 ist, so hat die be- 

 trachtete Schwingung die Amplitude qp und die 

 Schwingungsdauer T bei dieser Amplitude ist: 



m "_ _[ 1 I ^0 \ 



~m ~n\ h 16 '' 



wahrend T = - die Schwingungsdauer bei 



n 



unendlich kleiner Amplitude ist. Durch Divi- 

 sion hat man umgekehrt: 



_?<L\ = T _ T ?!L, 

 16 J 16' 



Man muB daher zu der bei der Amplitude 



tion auf unendlich kleine Amplitude, 

 hinzufiigen, um die Sehwingungsdauer bei 

 unendlich kleiner Amplitude zu erhalten. 

 Diese Annaherung geniigt fiir alle praktischen 

 Beobachtungen, da man heute iiber Ampli- 

 tuden von 30' kaum noch hinausgeht. 



Der genaue Wert der Schwingungsdauer 

 bei der Amplitude qp wird durch ein elliptisches 

 Integral dargestellt: 



To 



7T 

 1 I" d_l|) 



Y V'i_ g m^gini' 



auf dessen Herleitung und Berechnung hier nicht 

 weiter eingegangeii werden soil. 



id) Zykloidenpendel. Die Aende- 

 rungen der Schwingungsdauer eines Pendels 

 bei wechselnder Amplitude legen die theo- 

 retisch interessante Frage nahe, ob es moglich 

 sei, die Aul'hangung des Pendels so zu modi- 

 fizieren, daB die Schwingungsdauer von der 

 Amplitude unabhangig wird.'Chr. Huygens 

 hat diese Frage in bejahendem Sinne be- 

 antwortet, indem er das ,,Zykloidenpendel" 

 konstruierte, das allerdings kein Pendel in 

 dem frither definierten engeren Sinne ist. 

 Man denke sich einen Massenpunkt P von 

 der Masse in an einem gewichtslosen, un- 

 ausdehnbaren und vollkommen biegsamen 

 Faden im Punkte aufgehangt. Seitlich 

 von mogen sich zwei Backen von Zykloiden- 

 gestalt(Fig. 3) befinden, an die sich der IVndel- 



faden bei seinen Schwingungen anlegt. Ist 

 r der Eadius des Kreises, der durch Abrolien 

 auf einer horizontalen Geraden die Leit- 



zykloide erzeugt, so sei die Pendellange 

 1 1 = 4 r. Auf Grund bekannter Eigenschaften 

 beobachteten Schwingungsdauer in erster ; der Zykloiden ist es leicht nachzuweisen, daB 



Annaherung den Betrag-T. 99 ", die Re duk-! ein solches Pendel eine von der Amplitude 



Ik lunabhangige Schwinsungsdauer hat; man 



