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Pendel 



muB zu diesem Zweck offenbar zeigen, daB 

 seine Schwingungen einer analogen Gleichung 

 folgen wie die unendlich kleinen Schwingungen 

 des gewohnlichen Pendels (Gleichung (2)). 



Der Massenpunkt P beschreibt bei seiner 

 Bewegung die Evolvente der Leitzykloide, also 

 eine ihr kongruente Zykloide. Bezeichnet man 

 mit M ihre tiefste Stelle und nennt den Zykloiden- 

 bogen MP : \y, so ist die Beschleunigung von P 

 in der Richtung der Tangente lip. Andererseits 

 ist die wirksame Kraf tkomponente mg cos a, wenn 

 man mit a den Winkel zwischen der Zykloiden- 

 tangente und der Vertikalen in P bezeichnet. 

 Denkt man sich den erzeugenden Kreis in der 

 Lage gezeichnet, in der er den Punkt P liefert 

 und nennt seinen tiefsten und hochsten Punkt. 

 A und B, so geht die Tangente in P durch den 



PA 

 Punkt A und es ist daher cos a = =-. Da anderer- 



seits PA gleich dem halben Zykloidenbogen MP, 

 also gleich -| ist, so ergibt sich als wirksame 



Kraftkornponente mgijp. DaB PA gleich dem halben 

 Zykloidenbogen MP ist, sieht man am einfach- 

 sten, wenn man die entsprechende Tatsache bei 

 der Leitzykloide betrachtet, Nennt man den Punkt, 

 in dem der Pendelfaden die Leitzykloide verliiBt, 

 C, so liegen C, B, P in gerader Linie und es ist 

 CB = BP. Da CP gleich dem Zykloidenbogen CD 

 sein muB, ist CB die Halfte davon. Genau ent- 

 sprechend ist AP die Halfte des Zykloidenbogens 

 MP. Fiir die Bewegung des Pendels ergibt sich 

 also die Gleichung 



1<P + g<P = . 



die genau mit der Gleichung fur die unendlicl 

 kleinen Schwingungen des gewohnlichen Pendel 

 iibereinstimmt. Fiir sie gilt daher auch di 

 durch die Gleichung (6) angegebene Lusung 

 die uns zeigt, daB die Periode der Bewegun 

 von der Grb'Be des Ausschlags unabhangig ist 

 Zu praktischen Beobachtungen ist, soweit 

 mir bekannt ist, das Zykloidenpendel nicht 

 benutzt, da die Berechnung der ,,Ampli- 

 tudenreduktion" keinen irgendwie in Be- 

 tracht kommenden Fehler verursacht. 



2. Das physische Pendel. 2 a) Redu- 

 zierte Pendellange, Schwingungs- 

 mittelpunkt. Unter einem physischen 

 Pendel verstehen wir einen festen Korper, 

 der um eine im Raume und im Korper feste 

 Achse frei drehbar ist; als Kraft soil abge- 

 sehen von storenden Einfliissen nur die 

 Schwerkraft wirken. Um die Bewegungs- 

 gleichung des physischen Pendels abzuleiten, 

 geht man am einfachsten wieder vom Energie- 

 prinzip aus. Es sei M die Masse des Pendels 

 und S der Schwerpunkt; die feste Drehachse 

 moge senkrecht zur Zeichenebene (Fig. 4) 

 stehen und diese in treffen; die Lange OS 

 sei h. Bildet OS mit der Vertikalen in 

 den Winkel 93, so kann man offenbar die 

 Lage des Pendels durch Angabe dieses 

 Winkels 93 charakterisieren. Ist das Pendel 

 in Ruhe, so hat <p den Wert Null, weil dann 

 der Schwerpunkt S vertikal unter dem Dreh- 

 punkt liegt. 



Ist nun dm ein Masse nelement des Pendels, 

 das von der Drehachse den Abstand r hat, 

 so ist der von dem Massenelement herriihrende 



j?il der lebendigen Kraft ^jf- dm und dem- 



a 



nach die gesamte lebendige Kraft des Pendels 



wenn man mit J = ,/r 2 dm das Tragheits- 

 moment des Pendels in bezug auf die Dreh- 

 achse bezeichnet. Die 



integrationen sind 

 liber den ganzen Pen- 

 delkorper zu erstrek- 



n. Die potentielle 



5nergie ist die Arbeit, 

 die man zu leisten 



lat, um den Peudel- 



:6rper aus der Ruhe- 



: age in die augen- 



allckliche Lage zu 



beben. Man kann 

 sich dabei die ge- 

 samte Masse M im 



Schwerpunkt konzen- 



triert denken. Da 



der Schwerpunkt S, 



wenn das Pendel don 



Ausschlag 93 macht, um den Betrag h 



(l_ C os <p) hoher liegt als in der Ruhe- 



lage, so ist die potentielle Energie: Mgh 



(1 cos 93). Es ergibt sich also nach dem 



Energieprinzip: 



J.9L + Mgh(l cos 95) = Konst. 



Ci 



Bezeichnet man den groBten Ausschlag des 

 Pendels mit <p , so hat im Augenblick dieses 

 Ausschlags <p den Wert Null und fiir die 

 Konstante der letzten Gleichung ergibt sich 

 demnach der Wert Mgh(l cos q> ), so daB 

 man die Gleichung auch schreiben kann: 



i|i- + Mgh(cos 9? cos 97) = 0. 



Daraus erhalt man durch Differentiation 

 nach t: 



Jip + Mgh sin 93 = 0. 



Diese Gleichung wird aber mit der fiir das 

 mathematische Pendel (Gleichung 1) iden- 

 tisch, wenn man als Lange des mathematischen 

 Pendels 



J 



1 = 



Mb 



wahlt. Das physische Pendel schwingt also 

 genau wie em mathematisches Pendel von 



der Lange . . Man nennt diese Lange die 



reduzierte Lange des physischen Pendels. 

 Tragt man sie auf OS von aus in der 

 Richtung nach S hin ab, so erhalt man den 



