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Mittel der Temperaturen oben und unten rechm-n, 

 weil der Schwerpunkt des Pendels nicht in der 

 Mitte liegt, die Massen also unsymmetrisch zur 

 Mitte verteilt sein miissen. Es ist vielmehr an 

 dem .Mittel noch eine kleine Korrektion anzu- 

 bringen, auf die hier jedoch nicht weiter einge- 

 gangen werden soil. 



Man berechnet den Temperaturkoef- 

 fizienten eines Pendels, d. h. die Aenderung 

 der Schwingungsdauer pro Grad, nicht aus 

 dem Ausdennungskoeffizienten des Pendel- 

 materials, sondern ermittelt ihn empirisch 

 durch Beobachtungen bei hoher und niedriger 

 Temperatur. 



4b) Damp fung. Bei der Betrachtung 

 der ungestorten Schwingungen eines Pendels 

 in i a hatte sich ergeben. daB dieselben mit 

 konstanter Amplitude erfolgen. Bereits eine 

 rohe Beobachtung lehrt, daB dies in Wirk- 

 lichkeit nicht der Fall ist, sondern daB die 

 Amplitude schon nach kurzer Zeit merklich 

 abnimmt. Die Ursache davon sind Reibungs- 

 krafte, die an der Schneide oder sonstigen 

 Aufhangungsvorrichtung ihren Sitz haben, 

 und der Widerstand der umgebenden Luft. 

 Es wird durch die Wirkung dieser Krafte dem 

 Pendel dauernd Energie entzogen, die in 

 letzter Instanz in Warme umgesetzt wird. 

 Die Amplitude der Schwingungen nimmt 

 daher dauernd ab, die Schwingungen werden 

 gedampft. Demi die Amplitude kann als 

 MaB fiir die der Pendelbewegung inne- 

 wohnende Energie angesehen werden, weil im 

 Moment der Umkehr der Bewegung die 

 lebendige Kraft Null ist und deshafb die ge- 

 samte Energie durch die GroBe des Aus- 

 schlags bestimmt wird. 



Bei kleiner Amplitude und darum kleiner 

 Geschwindigkeit kann man die Widerstands- 

 krafte proportional der Geschwindigkeit 

 setzen, man erhalt dann die Gleichung der 

 gedampften kleinen Pendelschwingungen: 



9 +2x^+^ = 0, (1) 



in der /. eine positive Konstante bedeutet, 

 die als Dampfungskoeffizient bezeichnet 

 wird. Will man die Abnahme der Energie 

 in Erscheinung setzen, so mnB man (1) mit 

 <p rnultiplizieren und integrieren, wodurch 

 sich ergibt: 



T+W-fl */** 



o 



wenn man annimmt, daB zur Zeit t = der 

 Ausschlag <p = <p und <p = sei. Die rechte 

 Seite der letzten Gleichung stellt, abgesehen 

 von einem konstanten Faktor, den Energie- 

 verlust der Pendelbewegung wahrend der 

 Zeit t vor. 



Wie in der Theorie der kleinen Schwin- 

 gungen gezeigtwird (vgl. den Artikel,,Schwin- 

 gende Bewegungen"), hat die Gleichung (1), 



wenn man die Zeit von einem Durchgang 

 des Pendels durch die Kuhelage rechnet, die 

 Los ung: 



(2) 



m = m e- xt sin t\/\ - y?. 



r l 



Die Schwingungsdauer des Pendels wird 



also 



- x*. Da die kleine GroBe ^ hier 



nur in zweiter Potenz auftritt, so beeinfluBt 

 die Diimpfung die Schwingungsdauer nur 

 in zweiter Ordnung. Fiir die gebrauchlichen 

 Pendel ist x < 1Q- 3 sec- 1 und deshalb dieser 

 EinfluB ganz zu vernachlassigen. 



Die Dampfung hat aber durch Verkleinerung 

 der Amplitude einen indirekten EinfluB auf die 

 Schwingungsdauer, der zu beriicksichtigen ist. 

 Wie wir in ic gesehen haben, hat man, um die 

 Schwingungsdauer auf unendlich kleine Ampli- 

 tude zu reduzieren, die Korrektion T.^r an- 



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zubringen, wo qp die augenblickliche Amplitude 

 bedeutet. Erstreckt sich die Beobachtung iiber 

 eine langere Zeit, so muB man natiirlich mit 

 einer gewissen mittleren Amplitude rechnen. 

 Nach (2) ist die Amplitude zu einer beliebigen 

 Zeit t: K cp a e xt , wenn g) die Amplitude zur 

 Zeit t=0 bedeutet, oder Ioga = logqp xtloge. 

 Der Logarithmus der Amplituden ist also 

 eine lineaie Funktion der Zeit, d. h. die 

 Amplituden in aquidistanten Zeitmomenten 

 nehmen in geometrischer Progression ab. Man 

 kann daraus ohne Schwierigkeit entnehmen, daB 

 es geniigend genau ist, fiir die Amplitudenreduk- 



tion T. ! 7.11 setzen, wenn man unter <j>m 



lo 



das geometrische Mittel aus Anfangs- und End- 

 Amplitude versteht; bei kleineren Amplituden- 

 unterschieden geniigt es auch fiir ^m das arith- 

 metische Mittel zu nehmen. 



Die vorstehenden Entwickelungen gelten 

 nur fiir kleine Schwingungen. Bei grofieren 

 Amplituden (schon bei 1) geniigt es nicht 

 mehr, die Widerstandskrafte der Geschwin- 

 digkeit proportional zu setzen; die Ampli- 

 tuden nehmen dann nicht mehr in geome- 

 trischer Progression ab. Man beschrankt sich 

 deshalb bei den Pendelbeobachtungen heut- 

 zutage durchweg auf Amplituden, die klrinrr 

 sincl als etwa 30'. Man hat auch bei gro'Beren 

 Ausschlagen langdauernde Aniplitudenreihen 

 beobachtet und durch empirische Formeln 

 darzustellen versucht. Da hier die Kenntnis 

 der Amplitude nur zur Berechnung einer 

 Korrektion benutzt wird, soil darauf nicht 

 eingegangen werden. 



40) EinfluB des umgebenden Me- 

 diums auf die Schwingungsdauer. 

 Das umgebende Medium hat auch einen 

 direkten EinfluB auf die Schwingungsdauer 

 eines Pendels, den man in einen aerosta- 

 tischen and aerodynamischen Teil zu 

 zerlegen pflegt. Das Pendel erleidet wie jeder 

 Korper, der sich in einer Fliissigkeit befindet. 



