Nr. 10. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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verwerfen, weil di'iikeiule Wesen sieh IMelirdimeiisionale.s niclit vor- 

 stellen knnen. Diese Herren mssen konsequenterwei.se auch 

 das Unendliehferne und das Imaginre aus ihrer Geometrie ver- 

 bannen, drfen sieh dann aher nicht wundern, wenn die Wissenschaft 

 in dem unaufhaltsamen Gange ihrer Entwicklung ber sie zur 

 Tagesordnung bergeht. Wer nun (um zur Sache zurckzukommen), 

 wie Herr Dreher, grundstzlich alle 'l'hatsachen der Geometrie in 

 den dreidimensionalen Raum versetzen will, dem bleibt, wenn er 

 von einem vierdimensiomilen Raum hrt, natrhch nii'hts anderes 

 brig, als anzunehmen, dass man diesem seinem dreidimensioiuxlen 

 Raum eine vierte Dimension andichten will, ein Irrtum, den ich 

 (auf S. 42 in meinem obenerwhnten Aufsatze) meines Eraehtens 

 doch klar genug widerlegt habe. 



Dass Kant schon in seiner Jugendzeit die mathematisch 

 richtige Conception hatte, den dreidimensionalen Raum als eine nur 

 dem Scheine nach existierende Projektion eines vierdimensionalen 

 aufzufassen, macht dem grossen Denker alle Ehre; dass er bei seiner 

 spteren Auffassung des Weltraumes nicht auf den Unsinn verfiel, 

 den seine Nachfolger den Mathematikern in die Schuhe schieben 

 wollen, nmlich von einer den drei vorhandenen Dimensionen qui- 

 valenten vierten Dimension des Weltraumes zu sprechen oder im 

 ebenen dreidinien-sionalen Rume die Eigenschaft der tieraden als 

 krzester Verhindungs.strecke zweier Punkte zu bestreiten, ist ja 

 selbstverstndlich. Auch die von Herrn Dreher citierten bedeuten- 

 den Mathematiker haben ihren vierdimensionalen Raum schwerlich 

 je mit dem Weltrume ideutiticiert. 



Herr Dreher meint endlich, ich htte bersehen, dass, rein 

 mathematisch genommen, der vierdimensionale liaum der Mathe- 

 matiker dasselbe Giespenst sei mit dem der Spiritisten." Ich meine, 

 ich htte mich in dieser Hinsicht deutlieh genug ausgedrckt auf 

 S. 67, AI. 2, wo ich von der Besitzergreifung dieses Regritfes durch 

 den Spiritismus rede. Wem dies noch nicht deutlich genug ist, 

 den verweise ich auf meine Aldiandlung l'eber Entwickelung und 

 Stand der n-dimensionalen Geometrie" (Leopoldiua. Leipzig bei 

 Engelmann). Es ist auch nicht zutretfend, wenn Herr Dreher als 

 einzigen L'nterschied zwischen dem vierdimensionalen Rume der 

 Mathenuitiker und demjenigen der Spiritisten den Umstand gelten 

 lassen will, dass die Spiritisten drausseu auf dem Forum das Volk 

 verfhren, whrend die Mathematiker (natrlich die vierdimen- 

 sionalen") im Innern des Heiligtums der Wissenschaft ihr tempel- 

 sclinderisches Wesen treiben. Diese Unterscheidung wrde, wimn 

 die Spiritisten sich damit begngten, den nnschuldigen alistrakten 

 Raunibcgrirt' populr zu machen, eine ganz nebenschliche sein. 

 Der Kern des Interscbiedes liegt vielmehr darin, dass die Spiritisten 

 den vierdimensionalen Raum eben nicht rein mathematisch, 

 d. h. abstrakt nehmen, sondern ihn fr einen neben dem Weltrume 

 gedachten zweiten lOrfahrungsraum au.sgeben, und als soh'heu 

 durch Tauschungen zu erweisen suchen. Man Ijraucht natrlich, 

 nm die Haltlosigkeit dieser Bemhungen zu begTeifen, kein Kantianer 

 zu sein. Letzterer freili<;h wird obendrein noch vor die Zumutung 

 gestellt, an eine neue Anscliauuiigsforn] der Seele zu glauben, da, 

 wo eben die Unmglichkeit der Anschauung V'oraussetzung ist. 

 Phid, wie gesagt, wer nur Anschauliches in der Geometrie gelten 

 lassen will, fr den ;ist natrlich der vierdinu>nsionale Kaum der 

 Mathematiker ebenso widersinnig wie jener der Spiritisten. 

 Aber abiisus non tollit usum , Gewaltmassregeln knnen wohl die 

 Poltergeister, nicht aber aus sicheren Positionen existi'uzbereclitig'te 

 und ntzliche Hegrilfe der Wissenschaft vertreiben, und im brigen 

 kennt die Matliematik keine Gespensterfurcht. 



Gewiss ist es richtig, dass eine allseitige philosophische llihiug 

 den Mathenuitiker (wie jeden Forscher) vor Trumereien und l'han- 

 tasieu zu schtzen biTiifen ist; eine Philosophie aber, welche die 

 logische Weiterentwicklung einer Specialwissenscduift durch ein 

 Dogma aufhalten will, kann nicht mehr den Anspruc!h erheben, 

 diese allseitige Bihhiug zu gewhren , und sieht sich zu der lioUe 

 der Henne am L'fer verurteilt, welche im vorliegeiulen Kalle nicht 

 hindern kann, dass das Entlein der Geometrie auf Entdeckungen 

 in den (iewssern der nichtanschaulichen Gebiete ausgidit. *) 

 Dr. \'. Schleo-el. 



*) Der Unterzeichnete schliesst sich in der in Kede sleliiMideii 

 Frage den obigen Au.sfhrungen an. II. I'. 



Die Herausgabe mathematLscher Kla.ssiker. ' ) - Wie 



der einzelne Forsi'ln'r na(di spi'ciellcn Untersucliungeu gez\Miug<-n 

 ist, sich wieder zu einem allgemeineren (i(^sichtspunkte 7,11 eiinbeu, 



*) Es liegt die Absicht vor, in lngeren oder krzeren /wischen- 

 rumen auch mathematische Mitteilungen, Hesprecliungeu nuithe- 

 nuitischer Werke, sowie grssere oder kleinere Berichte ber neue 

 Untersuchungen aus diesem Gebiete zu bring'en, deren Abfassung 

 linser bewhrter Mitarbeiter, Herr A. ffutzmer, bernonnnen hat. 

 Wir horten, damit die grsste mgliche V'ielseitigkeit erreicht zu 

 haben und den Wnschen vieler Leser zu entsprei'hen. Red. 



wenn anders er nicht dii' rebei'sicht ber sein (iebiet verlieren will 

 so ist CS auch fr jede Wissenschatt ein uimbwei.sbares J{edrfnis, 

 nach grossen Errungenschaften einen lilick auf die durchlaufenen 

 Etappen zu werf(>n. Es wird dadurcli nicht nur der Sinn fr die 

 historische Seite der Wissenschaft geprtegt, sondern es drngen sich 

 bei dieser JJeschftigung auch neue J'robleme auf, deren Erledigung 

 einen wahren Fortschritt bedeutet. Ganz besonders findet das tie- 

 sagte auf die mathematischen Wissenschaften seine Anwendung. 

 Whrend der letzten .Jahrzehnte sind hier Probleme zum .Vbschluss 

 gefhrt worden, mit deren Lsung sich teilweise die ausgezeich- 

 netsten Kpfe bereits vor langer Zeit beschftigt haben. Nel)en di'U 

 epochemachenden Untersuchungen in der Funktionentheorie haben 

 die Algebra und die hhere Arithmetik (Zahlenthcorie) unter den 

 Hnden genialer ['"orscher einen ungeahnten Aufschwung erfahren, 

 whrend tiefsinnige Forschungen sowohl ber die (Grundlagen der 

 Raumansehauung und die Axiome der Geometrie, als auch ber die 

 verschiedenen Arten von Grssen, mit denen wir operieren, nicht 

 minder klares Licht verbreitet haben, wie ber diese Operationen 

 selbst. Fr die Slathematik scheint daher jener Zeitpunkt ein- 

 getreten zu sein, in welchem sich, wenigstens fr die Analysis uinl 

 Algebra, das Bedrfnis nach einer l'mschau geltend macht. 



Die Werke jener geringen Zahl von Klassikern aber, welcbi' 

 hierbei in Betracht kommen, sind teilweise sehr wenig zugnglich 

 oder nur in teuren Ausgaben vorhanden. Sie bilden jedoch einen 

 nnerschpflicdien Born fr neue Anregungen, und ihr Studium ge- 

 whrt eine so vorzgliche Schulung des Geistes, dass es jedem 

 Schler dieser Wissenschaft zur Pflicht gemacht werden niuss, sich 

 mit denselben zu beschftigen und in dieselben zu vertiefen. Es 

 ist daher geradezu eine Notwendigkeit, dass diese mathematischen 

 Klassiker zugnglich gemacht werden. Aus diesem Bedrfnis lieraus 

 sind nun seit einii.'-en .Tahren etliche Werke in deutscher Sprache 

 und zu einem verhltnismssig geringen l'reise herausg'eg'eben worden, 

 deren klassischer Wert ber allen Zweifel erhaben ist. 



Es sind darunter in erster Linie zu nennen: Euler's Ein- 

 leitung in die Analysis des Unendlichen (l. Teil) und 

 Cauchy's algebraische Analysis (Verlag von .Julius Springer, 

 Berlin, 1885). Beide Werke waren bestimmt, eine Grundlage fr 

 den systematischen Aufbau der Analysis zu bilden, gehen aber von 

 verschiedenen begrifflichen Grundannahmen aus; beide Werke sind 

 Reprsentanten verschiedener Richtungen. Whrend bekanntlich 

 Euler eine Funktion einer vernderlichen Zahlgrsse definieit als 

 einen analytischen Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der 

 vernderUchen Zahlgrsse und aus eigentlichen Zahlen oder aus 

 konstanten Zahlgrossen zusammengesetzt ist," wird bei Cauehy 

 der Begriff der Stetigkeit fr den der Funktion herangezogen, eine 

 Verschiedenheit der Anschanungtm, ber welche die neuere Funktionen- 

 lelire klares Licht verbreitet hat. 



In diesem Rahmen mssen wii- ferner auf die in demselben 

 Verlage (1888) erscliienencn Gauss'sclien Untersuchungen ber 

 die hypergeometrische Reihe aufmerksam machen, von denen 

 der grosse Mathematiker Kummer einst (1809) sagte; sie sind 

 Meisterwerke, welche denjenigen Ch.arakter der Klassicitt an sich 

 tr.agen, welcher dafr brgt, dass sie fr alle Zeiten, nii^ht bloss als 

 Fonumente der g'escbichtlichen Entwicklung der Wissenschaft 

 erhalten, sondern auch von den knftigen Generationen der Mathe- 

 matiker aller Nati(mi'n, als Grundlage jedes tiefer eingehenden 

 Studiums und als reiche Kundgrube fruchtbarer Ideen werden be- 

 nutzt und mit I<'leiss studiert werden." Diese Worte kennzeichnen 

 die Gauss'sche Abhandlung vortrefflich, und man muss sagen, dass 

 sie bereits in Erflbing gegangen sind; jeder IMathematiker weiss, 

 wie viele neue Untersuchungen durch das .Studium jener Abhand- 

 lung veranlasst worden sind. 



Als ein glcklicher Gedanke nuiss ferner die Herausgabe 

 einig^er mathematisciien Abhandlungen Vandermonde's be- 

 zeichnet werden, da dieselben einerseits nur sihwer zu^iiiiL^lich 

 waren, anderer.seits aber in ihnen der Keim zu neuen l'hit Wicklungen 

 liegt , deren Prinzip erst in den letzten .lahrzehnten zur vollen Be- 

 deutung gelangt ist. Die in deutscher Sprache lierausL'egebenen 

 Abhandlungen V^an dermonde's sind; Abhandlung ber die Auf- 

 lsung der (ileichungeu ; Abliandlung ber die irrationalen (Jrssen 

 verschiedener Ordnung' m-bst einer Anwendung auf den Kreis; 

 Hericht ber vorstehende Abhandlung und Abhandlung Imt die 

 Klimiuation. 



Im Anschluss an diese fr die Algebra so usserst wichtigen 

 Abhandlungen mag hier noch der im Teubner'schiMi Verlage er- 

 schienenen Zahlentheorie von fvi-gendre gedacht werden. In 

 diesem grossen, zwei stark! Hnde umfassenden Werke, dessen 

 deutsche Ausgabe nach der dritte?! Autlage des ( Iriginals veranstaltet 

 worden ist, werden mit den einfachsten llilfsndtlelu alle bis auf 

 Jjegendre und von ihm selbst entdeckten ICigensehal'ten der Zahlen 

 behaiulelt. Die Lehre von den Ketlenlu'cheii, die nuineriscbi' .\ut- 

 lsung der Gleichungen und ganz besonders die Theorie der Kreis- 

 teilungsgleichungen, welche im Anschluss an die Dis(|uisitiones 

 arithmeticae" vcm Gauss vorgetragen werden, finden gleichfall-- 



