Nr. 9. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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zu theilen, sie besitzen denselben in einem 8 Maass 

 fassenden Gefss, haben aber ausserdem nur 

 noch zwei leere Gefsse, von denen das eine 

 5 Maass, das andere 3 Maass fasst. Wie knnen 

 sie den Wein in zwei genau gleiche Theile thei- 

 len, indem sie sich einzig und allein der drei 

 Gefsse bedienen? Zu dieser Aufgabe giebt Rchet 

 zwei Lsungen, welche, wenn wir Liter statt Maass sagen, 

 folgendermaassen lauten : 



1) Man giesse den Wein in das 5 Liter fassende Ge- 

 fss, bis dasselbe voll ist; dann giesse man aus diesem 

 Gefss so lange in das 3 Liter haltende (lefss, bis 

 letzteres voll ist, so dass in dein zweitgrssten Gefss 

 2 Liter brig geblieben sind. Nun giesse man den Inhalt 

 des kleinsten Gefsses in das grsste, so dass dasselbe 

 nunmehr 6 Liter enthlt. Dann giesse man die in dem 

 zweitgrssten Gefss zurckgebliebenen 2 Liter in das 

 jetzt leere kleinste Gefss. Darauf flle man das zweit- 

 grsste Gefss, indem man ans dem grssten Gefss soviel 

 abgiesst, bis das zweite ganz gefllt ist, so dass nunmehr 

 die drei Gefsse der Reihe nach 1, 5, 2 Liter enthalten. 

 Jetzt entleere man das zweite Gefss soweit, dass das 

 kleinste Gefss voll wird. Dann sind im zweiten Gefss 

 4 Liter zurckgeblieben. Man hat also nur noch die im 

 kleinsten Gefss vorhandenen 3 Liter in das grsste zu 

 giessen, um zu erreichen, dass die 8 Liter halbirt sind. 



2) Bei der zweiten von Bachet gegebenen Lsung 

 giesst man zuerst in das 3 Liter haltende Gefss, bis 

 dasselbe voll ist, darauf die so erhaltenen 3 Liter in das 

 mittelgrosse Gefss. Nun fllt man wiederum das kleinste 



Gefss, indem man aus dem grssten ausgiesst, so dass 

 im grssten 2 Liter zurckbleiben. Nun giesst man aus 

 dem kleinsten so lange in das zweitgrsste, bis dieses 

 voll, und dann den ganzen Inhalt desselben in das grsste 

 Gefss, das nun 7 Liter enthalten muss, whrend im 

 kleinsten 1 Liter vorhanden ist. Dieses giesst man nun 

 in das mittelgrosse Gefss. Endlich fllt man aus dem 

 grssten Gefss in das kleinste, bis dieses voll ist, so dass 

 im grssten 4 Liter enthalten sein mssen, und die Auf- 

 gabe also gelst ist, wenn man noch die im kleinsten 

 Gefss enthaltenen 3 Liter in das mittelgrosse Gefss 

 bergiesst. 



Man kann diese Lsungen bersichtlicher und krzer 

 darstellen, wenn man den drei Gefssen 3 Columnen zu- 

 ordnet, und nach einander in diese Columnen die Zahlen 

 schreibt, welche angeben, wieviel Liter nach jedem Um- 

 fllen in den Gefssen enthalten sind. Diese krzere 

 Darstellungsweise wollen wir auch im Folgenden 

 immer beibehalten. Ferner wollen wir die drei 

 Gefsse mit A, B, C bezeichnen, so dass A das 

 grsste, B das zweitgrsste, C das drittgrsste 

 bedeutet. Die Zahl der Liter, die jedes Gefss ber- 



wir unter , B, C, und zwar 

 in Klammern. So gewinnen 

 die beiden oben ausein- 

 ander gesetzten Lsungen 

 die nebenstehende bersicht- 

 liche Gestalt. 



Man kann das oben 

 besprochene Problem in 

 dreierlei Richtungen verall- 

 gemeinern : erstens dahin, 

 dass man statt der Zahlen 

 (8), (5), (3) beliebig gewhlte 

 andere Zahlen setzt, welche 

 angeben sollen, wieviel Liter 

 die drei Gefsse A, B, C 

 fassen sollen, zweitens dahin, dass man als Ziel nicht 

 bloss die Halbirung, sondern die Erreichung jeder 



haupt fassen kann, setzen 



mglichen Literzahl betrachtet, drittens dahin, dass 

 man mehr als drei (iefsse als zur Verfgung stehend 

 voraussetzt. Da die dritte Erweiterungsrichtung weniger 

 Interesse bietet, weil die Auffindung einer Lsung da- 

 durch zu sehr erleichtert wird und die Anzahl der denk- 

 baren Lsungen zu gross wird, so wollen wir diese Er- 

 weiterung des Problems nicht eingehender behandeln, 

 sondern nur ein Beispiel geben, das wir den Mathe- 

 matical Recreations" von Ball entnehmen. Das Gefs- A 

 sei voll und enthalte 24 Liter, die Gefsse B, C, D 

 sind leer und fassen 13, 11, 5 Liter. Man soll die 

 24 Liter durch Umfllen in drei gleiche Theile theilen. 

 Eine sehr kurze Lsung des Problems ist folgende: 



Obwohl Ball in dem oben erwhn- 

 ten Buche die Ansicht ausspricht, dass 

 solche Umfllungs- Aufgaben nur durch 

 Versuche, nicht aber mathematisch, 

 gelst werden knnen, so wollen wir 

 doch eine kritische Behandlung der- 

 selben versuchen. Dabei wollen wir 

 uns das Problem in den beiden ersten 

 der oben genannten Verallgemeine- 

 rungsrichtungen, nicht aber in der 

 dritten ausgedehnt denken, das heisst, 

 wir wollen nur drei Gefsse A, B, C 

 betrachten, aber annehmen, dass jedes 

 eine beliebige Anzahl von Litern fasse, und dass auch jede 

 beliebige Zahl von Litern durch Umfllen erreicht 

 werden soll. Dabei sollen die Zahlen fr die von A, B, C 

 gefassten Liter beziehungsweise a, b, c heissen. Zuerst 

 sieht man nun leicht ein, dass bei dem Umfllen immer nur 

 zweierlei stattfinden kann. Entweder man macht das 

 Gefss, aus dem man giesst, ganz leer, oder man macht 

 das Gefss, in das man giesst, ganz voll. Daher kann 

 es, wie oft man auch umgicssen mag, niemals vorkommen, 

 dass keins der Gefsse ganz leer und zugleich auch keins 

 ganz voll ist. Wenn also bei unserer tabellarischen Dar- 

 stellung der Umfllungsarten in einer Reihe keine vor- 

 kommt, so muss nothwendig entweder die zweite Zahl 

 gleich b oder die dritte Zahl gleich c sein. Dass die 

 erste Zahl gleich a ist, konnte ausgelassen werden, weil 

 immer vorausgesetzt wird, dass berhaupt nur a Liter 

 der Flssigkeit vorhanden sind. Wenn man nun auf alle 

 mglichen Literzahlen von 1 bis a durch das Umfllen 

 kommen soll, so muss man bei der Reihenfolge der Um- 

 fllungen darauf achten, dass man niemals auf eine Zahlen- 

 gruppe stsst, die mit einer schon dagewesenen berein- 

 stimmt, weil man ja sonst alle Gruppen einfach nur 

 wiederholen msste, die zwischen den beiden identischen 

 Gruppen liegen. Ausserdem hat man bei der Auffindung 

 einer Methode, die alle mglichen Zahlen liefert, noch 

 darauf zu achten, dass mau mglichst spt auf die An- 

 fangsgruppe a, 0, zurckgelangt, Methoden, welche 

 diese Bedingung erfllen, lassen sich mehrere finden. Eine 

 derselben besteht aus folgenden Vorschriften: 



Man giesse aus A in C, bis C voll ist, dann den In- 

 halt von C in B, darauf wieder aus A in C, bis C voll 

 ist, und auch wieder den Inhalt von C in B. So fahre 

 man fort, bis B ganz voll wird. Darauf flle man den 

 Inhalt von B in A, und wenn in C ein Rest geblieben 

 sein sollte, diesen in B. Jetzt wiederhole man das anfng- 

 liche Verfahren, und zwar wiederum so lange, bis B voll 

 ist. Dann giesse man den Inhalt von B wieder in A, 

 und, wenn in C ein Rest geblieben ist, diesen in B. Wenn 

 man dieses Verfahren immer weiter fortsetzt, so gelangt 

 man schliesslich zur Anfangsgruppe zurck, und man hat 

 dann alle mglichen Zahlen erreicht, Es fragt sich jedoch, 

 ob auch immer in A soviel Flssigkeit ist, dass (' ganz 

 gefllt werden kann. A ist jedenfalls am leersten, wenn 



