Nr. 9. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Wenn man nher in das Wesen der angewandten 

 Umfttllungs-Methode eindringt, so erkennt man, dass unter 

 B, abgesehen von den wiederholt auftretenden Zahlen 



und b, der Reihe nach die Vielfachen der Zahl c von 



1 mal c bis b mal c erscheinen, wenn man jedes Viel- 

 fache immer, so oft es geht, um b vermindert. In No. 3, 

 wo c = 7, b 17 ist, sind diese Vielfachen von c der 

 Reihe nach 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 

 98, 105, 112, 119, woraus nach kSubtraction von 17 oder 



2 mal 17 u. s w. die Reihe 7, 14, 4, 11, 1, 8, 15, 5, 12, 2, 9, 

 16, 6, 13, 3, 10, erscheint, welche mit der Reihe der durch 

 das Umgiessen entstehenden Zahlen genau bereinstimmt. 



Wir haben noch den in den vorigen Beispielen aus- 

 geschlossenen Fall zu prfen, wo a kleiner ist als die um 

 1 verminderte Summe von b und c. In diesem Falle 

 lassen sich unter B nicht alle Zahlen von 1 bis b er- 

 reichen. Man findet aber unter B alle Zahlen, die sich 

 berhaupt erzielen lassen, wenn man die oben beschriebene 

 Methode auch hier anwendet, und so lange fortsetzt, bis 

 man auf eine Zahl stsst, die grsser als der Ueberschuss 

 von a ber c ist. Die sonst noch erreichbaren Zahlen 

 ergeben sich unter A, wenn man die unter B erlangten 

 Zahlen von a abzieht, und wenn man aus dem Gefss A 

 die anderen Gefsse fllt. Ist z. B. a = 20, b = 13, c = 9, 

 so ist a kleiner als die um 1 verminderte Summe von 

 b und c, wenn auch nur um 1 kleiner. Hier erscheinen 

 unter B bei Befolgung unserer Methode ausser und 13 

 die Vielfachen von 9, jede so oft wie mglich um 13 ver- 

 mindert, also die Zahlen 9, 5, 1, 10, 6, 2, 11, 7, 3, 12. 

 Schon hier bei 12 bricht aber die Reihe ab, da die 

 arithmetisch nun noch folgenden Zahlen 8 und 4 beim 

 Umfllen unter B nicht erscheinen knnen, da, wenn in 

 B 12 Liter sind und C leer ist, in A nur 8 Liter sein 

 knnen, welche Quantitt nicht gengt, um C ganz zu 

 fllen. Da aber unter A die Zahlen erscheinen mssen, 

 welche entstehen, wenn man die Zahlen der obigen Reihe 

 von 20 oder von 20 minus 9 abzieht, so kommen dennoch 

 die Zahlen 8 und 4 vor, aber nicht unter B, sondern 

 unter A als 20 minus 12 bezw. als 20 minus 9 minus 7. 

 Ebenso entstehen auch alle Zahlen zwischen 20 und 13, 

 mit einziger Ausnahme der Zahl 16, die auf keinerlei 

 Weise erreichbar ist. Als zweites Beispiel nehmen wir 

 a=16, b=12, c = 7. Auch hier ist a kleiner als die 

 um 1 verminderte Summe von b und c, 

 und zwar um 2. Dann sind unter B ausser 

 und 12 nach einander die Zahlen 7, 2, 

 9, 4, 11 erreichbar. Dann aber muss die 

 Reihe abbrechen. Ausserdem erscheinen 

 unter A die Zahlen 16 7 = 9, 16 2 

 = 14, 16 9 = 7, 16 4 = 12, 16- 11 

 = 5, sowie auch 16 7 7 = 2, 16 7 

 2 = 7, 16 7 9 = 0, 16 7 4 = 5. 

 Unter C erscheinen die Zahlen 7, 2 mal 7 

 minus 12, 4 mal 7 minus 2 mal 12, so 

 dass schliesslich die folgenden Zahlen ganz 

 unerreichbar bleiben: 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15, 

 wie auch die nebenstehende ausfhrliche 

 Darstellung der Umfll-Methode zeigt. 



Es fragt sich nun, ob nicht vielleicht 

 andere Methoden der Umfllung denkbar 

 sind, die dann vielleicht auch zu denjenigen Literzahlen 

 fhrt, die nach der bisher befolgten Methode unerreichbar 

 waren. Eine nhere Untersuchung des Problems zeigt, 

 dass in der That noch eine zweite Methode existirt, dass 



aber diese zu keinen andern Ergebnissen fhrt, wie die 

 erste Methode, und dass insbesondere die erreichbaren 

 sowohl wie die unerreichbaren Zahlen bei 

 beiden Methoden bereinstimmen, aber in 

 verschiedener Reihenfolge erseheinen. Na- 

 mentlich zeigt sich auch, dass, wenn a, b, c 

 die oben abgeleitete Bedingungs - Unglei- 

 chung erfllen, alle Zahlen von 1 bis a 

 erhalten werden knnen, nach der zweiten 

 Methode ebenso gut, wie nach der ersten 

 Methode. Diese zweite Methode lautet 

 folgendermaassen : 



Man giesse aus A in B, bis B voll 

 ist, dann aus B in 0, bis C voll ist, dann 

 den Inhalt von C in A, dann nochmal aus 

 B in C, bis C voll ist, und dann aus dem 

 vollen C in A, und wiederhole dies so 

 lange, bis es nicht mehr gelingt C aus B 

 ganz zu fllen. Darauf giesse man trotz- 

 dem diesen Rest in C, so dass B leer 

 wird. Nun flle man von neuem aus 

 A in B, bis B voll ist, und wiederhole nun 

 den eben beschriebenen Process, bis wieder- 

 um in B weniger als c ist. Dann giesse 

 man diesen Rest in C, flle das leere B 

 aus A, giesse aus B in C, bis C voll ist, 

 u. s. w. Nach dieser Methode ist in dem 

 beistehenden Beispiele verfahren. Man 

 bemerke, dass, wenn die Bedingungs- Un- 

 gleichung ber a erfllt ist, die Reihen- 

 folge der erreichten Zahlen-Tripel genau 

 umgekehrt zu der bei der ersten Methode 

 erlangten Reihenfolge ist. Ist aber jene 

 Bedingungs -Ungleichung nicht erfllt, so 

 wird es vorkommen, dass in A nicht hin- 

 reichend Flssigkeit ist, um B ganz fllen zu knnen. 

 Dann hat man es soweit wie mglich zu fllen und in 

 der Befolgung der Methode fortzufahren. Das Ergebniss 

 aber ist dann, dass gewisse Zahlen als 

 unerreichbarausgeschlossen bleiben knnten, 

 und zwar sind dies dann dieselben Zahlen, 

 die auch bei der ersten Methode ausfallen 

 mussten. Um dies zu verdeutlichen, behan- 

 deln wir das oben nach der ersten Me- 

 thode durchgefhrte Beispiel, woa = 16, 

 b = 12, c = 7 ist, jetzt auch nach der 

 zweiten Methode. (Siehe nebenstehendes 

 Beispiel.) 



Man sieht, dass wiederum die Zahlen 

 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15 ausfallen, alle an- 

 deren Zahlen von 1 bis 16 aber erscheinen. 



Was das Geschichtliche dieser Um- 

 fiillungs- Aufgaben anbetrifft, so finden sich 

 dieselben zuerst wohl in Tartalea's Schriften 

 (erste Hlfte des 16. Jahrhunderts), dann 

 bei Bachet in dessen Recreations, die 1612 

 zuerst erschienen. Im Anfang unseres Jahrhunderts zog 

 Ozanam (1803) diese Aufgaben wieder ans Tageslicht, 

 und seitdem sind sie in allen mglichen Bchern und 

 Schriften, die Zahlenbelustigungen enthalten, zu finden. 

 Eine kritische Behandlung dieser Aufgaben fr den Fall, 

 dass a, b, c beliebige Zahlen sind, und jede Zahl von 

 1 Liter bis a Liter durch Umgiessen erreicht werden soll, 

 drfte in diesem Artikel wohl zuerst geliefert sein. 



