Nr. 14. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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und der 15 Trken leicht durch empirisches Zhlen ge- 

 lst werden knnen, dass es aber unmglich ist, eine 

 allgemeine Regel anzugeben". Der Verfasser dieser Ar- 

 tikel hat es daher fr seine Pflicht gehalten, den Versuch 

 einer mathematischen Behandlung zu machen. Dieser Ver- 

 such ist schliesslich vom besten Erfolge gekrnt gewesen. 

 Da jedoch die mathematische Ueberlegung seihst mehr in 

 eine rein mathematische Zeitschrift, als in diese Zeit- 

 schrift liineinpasst, so wird es gengen, wenn hier nur 

 die Resultate der Untersuchung Platz finden. Diese lassen 

 sich auch in einer fr Nicht -Mathematiker verstndlichen 

 Form wiedergeben. Zunchst geben wir dem Problem 

 folgende Fassung: 



Auf einer Kreis-Peripherie liegen n Punkte, 

 die, der Reihe nach, im Sinne eines Uhrzeigers, 

 durch die Zahlen 1, 2, 3, . . . bis n bezeichnet 

 sind. Man zhlt, mit Punkt 1 beginnend, der Reihe 



mit x bezeichnet, x gleich d wird, wenn e gleich 1. und 

 n nicht kleiner als d ist. Wenn ebenfalls e gleich 1, aber 

 n kleiner als d ist, so ist x gleich dem Reste, der brig 

 bleibt, wenn man d durch n dividirt. Dies ist aus der 

 Art des Abzhlens unmittelbar ersichtlich. Damit sind fr 

 e = 1 alle Zahlen x bestimmt. Was die Zahlen fr e = 2 

 angeht, so fand der Verfasser, dass dieselben aus denen 

 fr e=l dadurch hervorgehen, dass man die letzteren 

 um <1 wachsen lsst; wenn man dabei auf eine Zahl 

 stsst, die grsser als n ist, so hat man n einmal oder 

 fter abzuziehen, bis eine Zahl herauskommt, die nicht 

 grsser als n ist. Doch ergiebt sich auf solche Weise 

 aus einer fr e = l richtigen Zahl diejenige fr e = 2 

 richtige Zahl, welche sieh auf eine um 1 grssere Zahl 

 von Punkten bezieht. Beispielsweise ist fr d = 3, 

 e = 1, n = 3, x = 3. Aus x = 3 folgt nun die auf d = 3, 

 e = 2 und n nicht gleich 3, sondern gleich 4 bezgliche 



Tabelle 2. 



nach, die Punkte bis zur Zahl d. Der Punkt, den 

 die Zahl d trifft, wird ausgestrichen. Bei dem 

 in der Reihe nchstfolgenden Punkte beginnt man 

 wieder zu zhlen, und zwar wieder von 1 bis d. 

 Der Punkt, den jetzt die Zahl d trifft, wird auch 

 ausgestrichen, und so setzt man dieses Verfahren 

 fort, bis alle Punkte ausgestrichen sind, wobei 

 man nie versume, die ausgestrichenen Punkte 

 beim Zhlen zu berspringen. Es soll berechnet 

 werden, welche Nummer der Punkt hat, der als 

 erster, welche, der als zweiter, und berhaupt, 

 welche Nummer x der Punkt hat, der als e-ter 

 Punkt ausgestrichen wird. Naturgemss sind n, 

 d, e, positive ganze Zahlen. Auch kann d kleiner, 

 gleich oder grsser als n sein. Die Zahl e kann 

 natrlich nicht grsser als u sein. Fragt man, 

 welcher Punkt als letzter ausgestrichen wird, so 

 hat man e = n zu setzen. 



Zunchst ergiebt sich sehr einfach, dass, wenn man 

 die gesuehtc Nummer des ausgestrichenen Punktes immer 



I Zahl, indem man zu der Zahl 3, die eben fr x galt, d, 

 also 3, hinzufgt. Dies giebt 6. Da 6 aber grsser als 4 

 ist. niuss ich 4 abziehen, giebt 2. Dies heisst, dass, wenn 

 man bei 4 Punkten immer von 1 bis 3 zhlt, die als 

 zweite ausgestrichene Zahl ursprnglich die zweite Stelle 

 einnahm, was man leicht experimentell als richtig erkennt. 

 In derselben Weise gehen nun aus den auf e = 2 und n 

 bezglichen Zahlen diejenigen hervor, die sieh auf e = 3 

 und n -+- 1 beziehen. Beispielsweise sei hier die Tabelle 

 der auf d = 3 bezglichen Zahlen x zusammengestellt. Da 

 man immer d zu addiren und ausserdem nur eventuell 

 um n zu vermindern hat, so kann man eine solche Tabelle 

 ohne Nebenrechnung aus dem Kopfe hinschreiben (vergl. 

 Tabelle 1). 



Es ist nun leicht, die Tabelle beliebig weit fort- 

 zusetzen. Die schrgen Pfeile deuten die schrgen Reihen 

 an, in denen jede Zahl aus der links drber befindlichen 

 durch Addition des Werthes 3 von d hervorgeht. Da, wo 

 mehr als n herauskommt, ist die nothwendig gewordene 

 Subtraetion von d durch eine unausgerechnet geschriebene 



