Nr. 26. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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entsteht aus dem Problem der Knigsberger Brcken das 

 Problem, die beistehende Figur in 

 einem einzigen Zuge herzustellen, 

 oder, was dasselbe ist, die 7 Linien 

 der Figur ohne Unterbrechung so zu 

 durchwandern, dass jede Linie ein- 

 mal, aber auch nur einmal passirt 

 wird. Aus diesem Problem sind die 

 mannigfachen Aufgaben entstanden, 

 welche verlangen , eine beliebige 

 Figur in einem einzigen Zuge oder in einer vorgeschrie- 

 benen Anzahl von Zgen zu zeichnen, Aufgaben, welche 

 gelegentlich in Unterhaltungs- und in Jugend-Zeitschriften 

 auftreten. Die Lsung aller solcher Probleme gestaltet 

 sieh durch die folgende Ueberlegung usserst einfach. 

 Jeder Punkt, der nicht Anfangs- und nicht Endpunkt 

 einer Durchwanderung der Figur ist, muss zwei oder 

 vier oder sechs oder berhaupt eine gerade Anzahl von 

 Ausgngen haben, da man immer hin- und auch wieder 

 fortwandern muss. Wenn also eine Figur keine Punkte 

 mit einer ungeraden Anzahl von Zugngen, sondern nur 

 solche mit einer geraden Anzahl von Zugngen besitzt, 

 so muss sie immer in einem einzigen Zuge herstellbar 

 sein und jeder Punkt kann als Ausgangspunkt gewhlt 

 werden, muss aber dann auch zugleich Schlusspunkt der 

 Wanderung sein, sodass sich eine geschlossene Rund- 

 reise ergiebt. So lsst sich jede der folgenden beiden 

 Figuren leicht in einem einzigen Zuge herstellen, weil 

 jede nur Punkte enthlt, die eine gerade Zahl von Aus- 

 gngen haben. 



Was die Punkte mit einer ungeraden Anzahl von 

 Ausgngen anbetrifft, so lsst sich zunchst beweisen, 

 dass solche Punkte immer nur in gerader Anzahl vor- 

 handen sein knnen. Um dies einzusehen, denke man 

 sieh auf jeden Punkt die Zahl seiner Ausgnge hin- 

 geschrieben. Die Gesammtsumme der so erhaltenen 

 Zahlen muss ergeben, wieviel Linien die Figur besitzt, 

 wobei jedoch zu beachten ist, dass jede Linie dabei 

 sowohl in ihrem einen, wie in ihrem andern Endpunkte 

 gerechnet ist, sodass also jede Linie doppelt gezhlt, 

 ist. Folglich ist jene Gesammtsumme das Doppelte der 

 Anzahl aller Linien, also eine gerade Zahl. Von dieser 

 geraden Zahl denke man sich alle geraden Zahlen ab- 

 gezogen, welche bei den smmtlichen Punkten der Figur 

 stehen. Die wiederum gerade Zahl, welche als Differenz 

 entsteht , giebt an , wieviel Ausgnge alle diejenigen 

 Punkte zusammen haben, die eine ungerade Zahl von 

 Ausgngen haben. Da man nun von jeder ungeraden 

 Zahl eine gerade Zahl abzuziehen hat, um die Zahl 1 zh 

 erhalten, so ergiebt sich als Anzahl der Punkte mit einer 

 ungeraden Zahl von Ausgngen das Resultat, das ent- 

 steht, wenn man von der oben erhaltenen geraden Zahl 

 lauter gerade Zahlen abzieht, also schliesslich wieder eine 

 gerade Zahl. 



Betrachten wir demgemss zunchst eine Figur, 

 welche ausser Punkten, von denen eine gerade Anzahl 

 von Wegen abfhrt, nur zwei Punkte besitzt, von denen 



eine ungerade Zahl von Wegen ausgeht. Dann kann 

 keiner dieser beiden Punkte Zwischenstation auf einer 

 Wanderung ber die Linien dieser Figur sein, weil man 

 immer nach Erreichung eines Punktes auf dem einen 

 Wege, auf einem andern Wege ihn wieder verlassen 

 muss, was nur bei einer geraden Anzahl von Zugngen 

 fortdauernd erreichbar ist. Folglich muss der eine der 



beiden Punkte mit 



ungerader 



Ausgangszahl Anfanas- 



station, der andere Endstation werden. Beispielsweise 

 lsst sich die beistehende Figur auf mehrfache Weise in 

 einem einzigen Zuge herstellen, aber 

 mir, wenn von den Punkten A und Z 

 der eine Anfangspunkt , der andere 

 Schlusspunkt wird. Eine solche Wan- 

 derung ist/,. 15.: ABJLCZDXMHAM 

 FNZLGJAHJKLHKMHNKZ. 



In derselben Weise erkennt man 

 nun leicht, dass, wenn eine Figur 

 4 Punkte mit ungerader Ausgangszahl 

 enthlt, sie nicht in einem einzigen Zuge, wohl aber in 

 zwei Zgen gezeichnet werden kann, indem von den 

 4 Punkten zwei fr den einen und zwei fr den andern 

 Zug als Anfangs- und Schlusspunkt gewhlt werden. All- 

 gemein ergiebt sich, dass jede Figur immer in soviel Zgen 

 hergestellt werden kann, wie die Hlfte der Anzahl smmt- 

 licher Punkte betrgt, die eine ungerade Anzahl von 

 Ausgngen haben. Wenn wir diese Regel auf das Pro- 

 blem der Knigsberger Brcken anwenden, so haben wir 

 zu beachten, dass von den 4 Punkten A, B, C, D (vergl. 

 die obigen Figuren) A3, B5, C3, D3 Ausgnge hat, und 

 sehliessen daraus, dass die 7 Brcken von Knigsberg 

 nur auf zwei Wanderungen mit verschiedenen Anfangs- 

 und Endpunkten passirt werden knnen, wenn es darauf 

 ankommt, dass jede Brcke nur einmal betreten wird, 

 z. B. auf den Wegen ADBCBD und BAC. Dabei hat 

 man natrlich von den beiden Wegen zwischen D und B 

 beziehungsweise B und C zuerst den einen, nachher den 

 andern zu whlen. Um ein zweites Beispiel zu haben, 

 betrachten wir die beistehende Figur des pythagorischen 

 Lehrsatzes mit dem zum Beweise nothwendigen Lothe 



von A auf ED. Da nur die Punkte A und L eine un- 

 gerade Anzahl von Ausgngen haben, so ist die Figur 

 in einem einzigen Zuge zu zeichnen, wenn man bei A 

 anfngt und bei L aufholt oder umgekehrt. Z. B. erfllt 

 der Weg ABKC AIIJCDLEBFGAKL die gestellte Be- 

 dingung. Um drittens zu entscheiden, in wieviel Zgen 

 die Figur des Schachbretts herzustellen ist, beachte man, 



