v^ Redaktion: 7 Dr. H. Potonie. 



Verlag: Ferd. Dmmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 



IX. Band. 



Sonntag, den 9. September 1894. 



Nr. 30. 



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Mathematische Spielereien in kritischer und historischer Beleuchtung. 



Von Prof. Dr. H. Schubert. 



XII. 



Die Hamilton'sche Rundreise-Aufgabe. 



(Letzter Artikel dieser Serie.) 



Im Jahre 1859 erschienen in London zwei Geduld- 

 spiele, welche von dem berhmten Mathematiker Hamilton, 

 dem Entdecker der Quaternionen-Theorie, erfunden waren 

 und ursprnglich beide dazu dienten, Beispiele fr ge- 

 wisse Berechnungen in dieser Theorie zu liefern. Das eine 

 Spiel hiess Die Reisenden auf dem Dodekaeder oder 

 eine Reise um die Welt", das andere 

 Das Ikosaeder-Spiel". Beide Spiele sind 

 wesentlich nicht verschieden, sie hneln 

 aussclich den in XI behandelten Euler- 

 schen Wanderungen", sind aber, bei 

 nherer Betrachtung, von diesen ganz 

 verschieden. Das Dodekaeder-Spiel ver- 

 langt, durch Wanderung auf den Kanten 

 eines regelmssigen Dodekaeders dessen 

 20 Ecken zu erreichen, jede aber nur ein- 

 mal, und schliesslich auf den Ausgangs- 

 punkt zurck zu kehren. Das analoge 

 Ikosaeder-Spiel verlangt, die 20 Flchen 

 eines regelmssigen Ikosaeders so zu be- 

 reisen, dass jede Flche nur einmal be- 

 sucht wird, und der Uebergang von einer Flche zu einer 

 andern auf keine andere Weise als durch Ueberschreitung 

 der Kante geschieht, in der sich beide Flchen schneiden. 

 Da die beiden Aufgaben nur scheinbar verschieden sind, 

 so wollen wir nur die Dodekaeder-Aufgabe nher be- 

 trachten. Zur Vorstellung eines regulren Dodekaeders 

 gelangt der Laie am einfachsten dadurch, dass er die 

 beistehende Figur ansieht, und sich denkt, dass die 

 usseren fnf Fnfecke um die Kauten des inneren Fnf- 



ecks nach oben umgebogen werden. Auf das so entstan- 

 dene Kstchen hat mau sich denn ein genau ebenso 

 geformtes Kstchen so aufgesetzt zu denken, dass ganz 

 oben wagerecht das innere Fnfeck des zweiten Kstchens 

 zu liegen kommt, und die oberen Kanten des unteren 

 Kstchens mit den unteren Kanten des oberen Kstchens 

 zusammenfallen. Der so entstehende Krper wird von 

 12 Fnfecken begrenzt, sodass 20 Ecken entstehen, von 

 denen jede 3 Kanten und also auch 3 Flchen aussendet. 

 Als Gesammtzahl aller Kanten ergiebt 

 sich 30. Da der Krper lauter gleiche 

 Kanten, lauter gleiche Winkel zwischen 

 zwei Kanten und auch lauter gleiche 

 Winkel zwischen zwei Flchen besitzt, so 

 gehrt er zu den 5 regulren Krpern. 

 Die Dodekaeder -Aufgabe verlangt nun, 

 dass auf einer Wanderung von irgend 

 einem Punkte aus lngs des Kanten-Netzes 

 jede der 20 Ecken einmal, aber auch 

 nur einmal, berhrt wird, und dass die 

 Wanderung schliesslich zu dem Ausgangs- 

 punkte zurckfhrt. Da nicht jeder ein 

 Dodekaeder-Modell leicht zur Hand hat, 

 und die Mhe wohl scheut, sich selbst eins 

 zu verfertigen, so liegt es nahe, zu fragen, ob man nicht die 

 auf einen Krper bezgliche Aufgabe durch eine Aufgabe 

 ersetzen kann, die sich auf eine leicht zeichenbare ebene 

 Figur bezieht, ohne dadurch das Wesentliche der Aufgabe 

 zu beeintrchtigen. Das Wesentliche aber ist ja nicht, 

 dass das zu durchwandernde Kanten-Netz einem Krper 

 angehrt, sondern nur, dass man 20 Tunkte hat, die durch 

 30 Linien so verbunden sind, dass von jedem Punkte drei 

 ausgehen, und ausserdem noch, dass diese Linien und 



