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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 36. 



Punkte 12 von geraden oder krummen Linien begrenzte 

 Fnfecke bilden. Solche Figuren lassen sich aber leicht 

 auf mannigfache Weise bilden, z. B. so, wie beistehende 

 Diagramme zeigen: 



Whlen wir von diesen Surrogaten des Dodekaeders 

 das zweite, das also aus drei concentrischen Kreisen be- 

 steht, von denen der mittlere sowohl mit dem inneren wie 

 mit dem usseren durch je 5 gerade Quer-Strecken ver- 

 bunden ist! Es wird nun jedem Leser leicht gelingen, 

 die Linien dieser Figur sich so durchwandert zu denken, 

 dass jeder Punkt einmal besucht wird und der Schluss- 

 punkt mit dem Ausgangspunkt zusammenfllt. Hamilton 

 stellte aber von vornherein die weitere Forderung, dass 

 die fnf ersten Stationen vorgeschrieben sein sollen. Eine 

 eingehende Untersuchung ergiebt, dass auch dann die 

 Aufgabe noch immer lsbar ist, und dass bei dieser Be- 

 schrnkung 2 oder 4 Lsungen erscheinen, je nach der 

 Wahl der ersten 5 Stationen. Sind z. B. A, B, C, D, E 



in der beistehenden Figur die 

 ersten 5 Stationen, so ergiebt die 

 weitere Wanderung FGH1KL 

 MNOPQRSTUA eine sehr 

 nahe liegende Lsung. 



Ein zweites Problem, das 

 Hamilton stellte, schrieb die 

 drei ersten Stationen und die 

 nicht mit der Anfangs- Station 

 identische Schluss-Station will- 

 krlich vor, hielt aber sonst an 

 der grundlegenden Forderung 

 fest, dass jede Station nur einmal besucht werden drfe. 

 Dieses zweite Hamiton'sche Problem fhrt zu 0, 1, 4 oder 

 6 Lsungen, je nach der Wahl der gegebenen vier Sta- 

 tionen. Beispielsweise hat das Problem nur eine einzige 

 Lsung, wenn A, B, C als Anfangs-Stationen, Q als Schluss- 

 Station gegeben ist. Diese Lsung lautet: 



ABCDEFTUNMLKIHGRSOPQ, 



wo die Buchstaben sich auf die obige aus drei 

 Kreisen zusammengesetzte Figur beziehen. Sind 

 dieselben Anfangs -Stationen, aber eine andere Schluss- 

 Station vorgeschrieben, so ergeben sich 2, 4 oder 6 L- 

 sungen, ausgenommen in den Fllen, wo diese Schluss- 

 Stationen K, D, F, P, M, N, T sind. In diesen Fllen hat 

 das Problem nmlich gar keine Lsung. 



Eine dritte Modification, die Hamilton dem Problem 

 gab, nahm mehrere aufeinanderfolgende Anfangs-Stationen 

 als gegeben an und verlangte dann, dass nach einer vor- 

 geschriebenen Anzahl von folgenden Stationen es unmg- 

 lich werde, weiterzureisen, ohne dass die Hauptregel des 

 Dodekaeder-Spiels, nmlich, jede Station nur einmal 

 zu besuchen, verletzt werde. Z. B. seien T, S, Q, R vier 

 gegebene Anfangs-Stationen, und sei verlangt, dass nach 

 6 weiteren Stationen die Fortsetzung der Reise unmglich 

 werde. In diesem Falle ergiebt sich die eine Lsung: 

 TSQRIHDEFG. 



Endlich bestand eine vierte Modification des Geduld- 

 spiels darin, dass eine vorgeschriebene Station bei der 

 Reise ausgeschlossen sein sollte, sonst aber dieselben 



Bedingungen erfllt wrden, wie bei dem Haupt-Problem. 

 Wenn z. B. A, B, C die Anfangs-Stationen, D die Schluss- 

 Station sein sollen, und, wenn ausserdem der Ort M, den 

 man sich etwa als von der Cholera heimgesucht vorstellen 

 mge, ausgeschlossen sein soll, so ergeben sich zwei L- 

 sungen, von denen die eine heisst: 



ABCKLPQIHGRSONUTFED. 



Kehren wir nach dieser Besprechung der Modifi- 

 catiouen des Hatnilton'schen Problems zu seiner ursprng- 

 lichen Fassung zurck! Nach dieser sollen alle 20 Stationen, 

 und zwar jede einmal, auf einer zum Anfangspunkt zu- 

 rckkehrenden Rundreise besucht werden. Schon Hamilton 

 gab in der Versammlung der British Association vom 

 Jahre 1857 eine mathematische Behandlung des Problems, 

 die auf folgenden Ueberleguugen beruht. Wenn man 

 irgend eine Station erreicht hat, so bieten sich immer zwei 

 Wege zur Weiterreise dar, weil die Station im ganzen 

 drei Ausgnge hat. Von diesen beiden Wegen muss be- 

 zglich der Richtung, in der man die .Station erreicht hat, 

 der eine Weg rechts, der andere links abgehen. Whlt 

 man den Weg rechts, so sei dies mit r bezeichnet, whrend 

 das Links -Weiterreisen durch 1 ausgedrckt werde. In 

 dieser Weise kann jede Hamilton'sche Rundreise durch 

 20 Buchstaben ausgedrckt werden, welche entweder r 

 oder 1 heissen. Beispielsweise msste die oben zuerst 

 erwhnte Rundreise, bei welcher die Buchstaben in alpha- 

 betischer Reihenfolge erscheinen, so ausgedrckt werden: 



rrrlllrlrlrrrlllrlrl. 



Da der Schlusspunkt immer mit dem Anfangspunkt 

 identisch sein soll, so kann man aus dieser mit rrr be- 

 ginnenden Reihenfolge beliebige andere Reihenfolgen ab- 

 leiten, indem man an beliebiger Stelle anfngt und den 

 ersten Buchstaben als auf den letzten folgend ansieht. 

 Ebenso kann man auch jede solche Reihenfolge in um- 

 gekehrter Richtung lesen. In solcher Weise kann man 

 aus dieser einen als richtig erkannten Lsung alle existi- 

 renden Lsungen ableiten. Wenn nmlich die fnf An- 

 fangs-Stationen beliebig gegeben sind, so ist aus ihnen 

 die Richtung zu entnehmen, die man beim Verlassen der 

 zweiten, dann der dritten, endlich der vierten Station jedes- 

 mal einschlagen muss, nmlich ob rechts oder links. Es 

 kann also nur einer von den folgenden 8 Fllen eintreten: 



rrr, rrl, rlr, rll, Irr, lrl, llr, 111, 



Alle diese sind aber aus der obigen mit rrr be- 

 ginnenden Reihenfolge als Anfnge von einer Reihenfolge 

 zu entnehmen, und zwar erkennt man, dass mit rrr die 

 obige und die umgekehrte Reihenfolge 



rrrlrlrlllrrrlrlrlll 



beginnen. Dadurch, dass man dem auf die Mitte folgenden 

 rrr anfngt, erhlt man keine neue Reihenfolge, sondern 

 die alte nochmal, weil die zweite Hlfte der Reihenfolge 

 ihrer ersten Hlfte genau kongruent ist. Die beiden er- 

 haltenen, mit rrr beginnenden Reihenfolgen ergeben un- 

 mittelbar die beiden Lsungen des Problems, welche 

 mglich sind, wenn die fnf Anfangs-Stationen in der 

 durch rrr angedeuteten Folge liegen. Wenn zweitens 

 rrl der Anfang der Reihenfolge ist, so ergeben sich aus 

 der obigen mit rrr beginnenden Reihenfolge wiederum 

 zwei Reihenfolgen, nmlich: 



rrlllrlrlrrrlllrlrlr 

 und: 



rrlrlrlllrrrlrlrlllr, 



woraus sich die beiden Lsungen ergeben, die mglich 

 sind, falls die fnf Anfangs-Stationen in ihrer Lage dem 

 Symbol rrl entsprechen, wie z. B. ABCDH. Ebenso 



