Nr. 36. 



Naturwissenschaftliehe Wochenschrift. 



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giebt es auch zwei mit rll beginnende Reihenfolgen. Und 

 da durch Vertauschung von r und 1 der anfngliche Cyclus 

 in seine Umkehrung tibergeht, so verhlt sich 111 genau 

 wie rrr, llr wie rrl und Irr wie rll. Es bleiben daher 

 nur noch die Flle rlr und lrl brig, welche sich wieder 

 gleich verhalten, und von denen jeder zu 4 Lsungen 

 fhrt. So haben die 4 Lsungen, die sich auf rlr be- 

 ziehen, die Symbole: 



rlrlrrrlllrlrlrrrlll 

 und rlrrrlllrlrlrrrlllrl 

 und rlrlrlllrrrlrlrlllrr 

 und rlrlllrrrlrlrlllrrrl. 



Diesen 4 mit rlr beginnenden Lsungen entsprechen 

 z. B. die 5 Anfangs-Stationen A, B, C, K, I, und wir er- 

 halten, entsprechend den obigen 4 Lsungen die folgenden 

 4 Rundreisen: 



1) ABCKIQRGHDEFTSOPLMNUA 



2) ABCKIHDEFGRQPLMNOSTUA 



3) ABCKIQRSOPLMNUTFGHDEA 



4) ABCKIQPLMNOSRGHDEFTUA. 



Aus der Lage der gegebenen 5 Anfangs-Stationen 

 lsst sieh also sofort entnehmen, ob 2 oder 4 Rundreisen 

 mglich sind. Wenn V, W, X, Y, Z die 5 Anfangspunkte 

 sind, so kommt es darauf an, ob man bei der Durch- 

 reise durch W, X, Y sich rechts oder links wendet. 

 Wenn man sich erst rechts, dann links, dann rechts 

 wendet, so giebt es 4 Rundreisen, ebenso auch, wenn 

 man sich erst links, dann rechts, dann links wendet. 

 In allen brigen Fllen giebt es nur zwei. Aus unserm Cyclus 



rrrlllrlrlrrrlllrlrl 



kann man auch erkennen, in welchen Fllen eine Rund- 

 reise mit sechs oder noch mehr gegebenen Anfangssta- 

 tionen gelingt. Bei 6 gegebenen Stationen handelt es 

 sich darum, ob man sich bei dem Passiren der 4 mittleren 

 Stationen so wendet, dass die 4 Wendungen in dem 

 obigen vorwrts oder rckwrts gelesenen Cyclus vor- 

 kommen. Aus den Buchstaben r = rechts und 1 = links 

 lassen sich aber 16 Gruppen zu je vieren zusammen- 

 stellen, von denen 12 in unserm Cyclus vorkommen, 

 4 aber nicht. Diese vier sind: 



rrrr,rllr, 1 rrl, 1111. 



Von diesen 4 Gruppen knnen rrrr und 1111 natur- 

 gemss nicht vorkommen, da diese sich auf die Umwan- 

 derung eines Fnfecks beziehen, sodass als sechste Sta- 

 tion wiederum die erste Anfangsstation auftritt. Es bleiben 

 also danach nur die Flle rllr und lrrl als solche brig, 

 bei denen eine Rundreise unmglich wird. Der erste 

 dieser Flle tritt z. B. ein, wenn A, B, C, K, L, P als die 

 6 ersten Stationen vorgeschrieben sein sollten. Man sieht 

 die Unmglichkeit einer so beginnenden Rundreise auch 

 daran, dass bei einem derartigen Reiseanfang die Station 

 M nicht wieder verlassen werden knnte. Denn von 

 ihren drei Nachbarn B, L, N sind B und L schon vorher 

 passirt, so dass mau also zu M nur von N aus gelangen 

 knnte, ohne dann die Mglichkeit einer Weiterreise zu 

 haben. 



Aus dem von uns gewonnenen Cyclus ergiebt sich 

 auch sehr leicht die Anzahl der mglichen Rundreisen 

 in den Fllen, wo weniger als 5 Anfangsstationen ge- 

 geben sind. Man erkennt dann die Richtigkeit der wohl 

 schon von Hamilton aufgestellten Tabelle, die auch Herr 

 Lucas in seinen Recreations anfhrt. 



Gegebene .. 



Anfangspunkte fuhren zu Losungen 



8 oder mehr 1 oder 0, 



7 2 oder 1 oder 0, 



6 3 oder 2 oder 1 oder 0, 



5 4 oder 2, 



4 6 oder 4, 



3 10, 



2 20, 



1 30. 



Alle diese Resultate flssen aus dem obigen von den 

 Ruchstaben r und 1 gebildeten Cyclus. Dieser aber ent- 

 stand aus einer schon als gefunden angesehenen Lsung. 

 Daher entsteht die Frage, ob die Hamilton'sche Methode, 

 welche ja aus einer Lsung alle Lsungen leicht ergiebt, 

 auch im Stande ist, von vornherein eine Lsung 

 theoretisch zu entwickeln. Die Bejahung dieser Frage 

 erkennt man aus gewissen Relationen, die sich zwischen 

 den Gruppirungen der Buchstaben r und 1 aus der Natur 

 der grundlegenden Figur ergeben. Man ersieht daraus 

 leicht, dass man immer zu dem- 

 selben Ausgangpunkt zurck- <2^ 7~""""\3l 



kommt, gleichviel ob man zwei- /^ I ~^s\ 

 mal nach einander links geht, / f ^4~^ ^\ \ 

 oder erst rechts, dann dreimal /^/C^/^^fV-A\ 

 links und endlich wieder rechts. ' (^[ ) 1 ] 



Z. B. gelangt man, von U kom- \\t \* &/ /J~ 

 meud, ber A und B nach M, ATn. /" "\y/ d 

 indem man zweimal links geht. \ ^Sitz^/it / 

 Man gelangt aber auch ber ^^/HP-x^ 



A, E, D, C, B nach demselben ^"e ' 



Punkte M; wobei man erst 



rechts, dann dreimal links und zuletzt rechts geht. Man 

 kann diese Erscheinung symbolisch so ausdrcken: 



ll = rlllr. 



Ebenso berzeugt man sich auch von der Richtig- 

 keit der folgenden Gleichung lrl = rllr. Ferner erhlt 

 man aus diesen beiden Relationen noch zwei neue, wenn 

 man berall r und 1 miteinander vertauscht. Diese Re- 

 lationen kann man nun verwenden, um aus einer selbst- 

 verstndlichen Rundreise ber nur fnf Stationen die auf 

 alle 20 Stationen bezglichen Cyclen abzuleiten. Wenn 

 man den Umfang eines der Fnfecke, aus denen sich 

 die Dodekaeder-Figur zusammensetzt, umkreist, so kehrt 

 man zum Anfangspunkt zurck, indem man entweder 

 fnfmal nach einander links oder fnfmal rechts umbiegt. 

 Diese Thatsache nehmen wir als Ausgangspunkt. Dann 

 erhalten wir mit fortwhrender Benutzung der Relation 

 11 = rlllr die folgende theoretische Ableitung eines Cyclus : 



(11) 111 = (rlllr) 111 = (rrlllrlr) (rlllrl) 

 = (ri-rlllrlrlr) (rrlll rlrl) 

 = rrrlllrlrlrrrlllrlrl. 



Von welcher Relation man auch ausgehen mag, und 

 wie man auch die Substitutionen vornehmen mag, man 

 gelangt, sobald mau 20 Buchstaben erreicht hat, immer 

 zu einer Gruppe, die sich von der eben gefundenen ent- 

 weder nur dadurch unterscheidet, dass sie an einer andern 

 Stelle anhebt, aber cycliseh mit ihr identisch ist, oder, 

 dass sie statt vorwrts rckwrts luft. Damit erkennt 

 man von neuem, dass andere Lsungen, als die aus 

 unserem Cyclus resultirenden unmglich sind. 



Ausser Hamilton selbst bat auch der franzsische 

 Artillerie-Offizier Hermary das Hamilton'sche Problem 

 mathematisch behandelt. Von seinen beiden Methoden, 

 um zu allen Lsungen zu gelangen, soll hier die (-ine 

 kurz erwhnt werden. Wenn Jemand zwei aufeinander- 

 folgende Strecken der Dodekaeder-Figur durchwandert 



