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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 36. 



hat, so hat er dadurch immer zwei Seiten eines einzigen 

 bestimmten Fnfecks passirt. Es kann daher beim 

 Weiterwandern nur zweierlei stattfinden, entweder die 

 dritte durchwanderte Strecke gehrt mit den ersten beiden 

 Strecken zu einem und demselben Fnfeck, oder die 

 dritte Strecke gehrt mit der zweiten Strecke zu 

 einem andern Fnfeck, als das Fnfeck war, zu dem 

 die beiden ersten Strecken gehrten. Im ersten Falle 

 wollen wir die Art des Wanderns mit b als dem ersten 

 Buchstaben von bleiben" bezeichnen, im zweiten Falle 

 mit w als dem ersten Buchstaben von wechseln". Man 

 kann daher bei jeder Rundreise zwischen zwei Stationen 

 immer durch Angabe der Buchstaben b und w augeben, 

 welche von den beiden Arten des Wanderns au jener 

 Stelle befolgt ist, wie aus der folgenden Figur ersicht- 

 lich ist, wo die grossen lateinischen Buchstaben in ihrer 



alphabetischen Reihenfolge die 

 Rundreise angeben, und wo die 

 Buchstaben b und w andeuten, ob 

 die erste oder die zweite von den 

 beiden eben angedeuteten Arten 

 des Wanderns befolgt ist. Wir 

 erhalten also die Reihenfolge: 



wwbb wbbw wwwwbbwb bwww, 



oder, da die erste Strecke bei 

 einer Rundreise sich wieder an 

 die erste anschliesst, 5 Wechsel, 

 2 Bleiben, 1 Wechsel, 2 Bleiben 

 und dann in derselben Reihenfolge nochmal. Es zeigt 

 sich leicht, dass alle Lsungen des Problems demselben 

 soeben erhaltenen Gesetze gehorchen, wenn die Reihen- 

 folge des Wechseins und Bleibens als cyclisch betrachtet 

 wird, und wenn ausserdem jede Rundreise sowohl vor- 

 wrts als rckwrts aufgefasst wird. Auch diese Methode 

 von Hermary fhrt dazu, bei gegebenen Aufangsstationen 

 leicht zu erkennen, wieviel Lsungen mglich sind, und 

 damit die oben angegebene Tabelle der Lsungen zu 

 besttigen. Wenn insbesondere 5 Anfangsstationen ge- 

 geben sind, etwa V, W, X, Y, Z, so knnen nur 4 Flle 

 eintreten, je nachdem nmlich die Strecke X Y demselben 

 Fnfeck wie V W und W X oder einem neuen angehrt, 

 und je nachdem dann YZ demselben Fnfeck wie WX 

 und X Y oder einem neuen angehrt, d. h. wir haben 

 nur die 4 Flle bb, bw, wb, ww. Aus dem oben ge- 

 wonnenen Cyelus von Buchstaben b und w entnehmen 

 wir nun aber, dass anfangen : 



mit bb 2 Grup- 

 pen, nmlich: 



mit b w 2 Grup- 

 pen, nmlich: 



| bbwbbwwwwwbbwbbwwwww 

 \ bbwwwwwbbwbbwwwwwbbw 



| bwbbwwwwwbbwbbwwwwwb 

 \ bwwwwwbbwbbwwwwwbbwb 



3) mit wb 2 Grup- J wbbwwwwwbbwbbwwwwwbb 

 pen, nmlich: { wbbwbbwwwwwbbwbbwwww 



( wwwwwbbwbbwwwwwbbwbb 



4) mit ww 4 Grup- ) wwwwbbwbbwwwwwbbwbbw 

 pen, nmlich: | wwwbbwbbwwwwwbbwbbww 



l wwbbwbbwwwwwbbwbbwww 



Aus diesem Resultat ergiebt sich immer sofort die Ent- 

 scheidung, ob bei beliebig gegebenen fnf Anfangssta- 

 tionen zwei oder vier Lsungen existiren. Auch die Ta- 

 belle ber die Anzahl der Lsungen bei einer andern 

 Zahl von gegebenen Anfangsstationen konnte Hermary 

 aus seiner Methode leicht ableiten. 



Trotz der grossen Eleganz sowohl der Hamiltoivsehen 

 wie der Hermary'schen Untersuchungsmethode des Dode 

 kaeder-Ruudreiseproblems, hlt der Verfasser dieser Ar- 

 tikel es dennoch fr praktisch, eine dritte Methode noch 



anzufgen, welche zwar an Schrfe und Exactheit 

 tief unter den eben besprochenen steht, aber doch 

 den Vortheil hat, dass sie in gleicher Weise auf jede 

 aus Punkten uud ihren Verbindungslinien bestehende 

 Figur anwendbar ist. An eine Erweiterung des Hamil- 

 ton'schen Ruudreiseproblems haben selbstverstndlich 

 schon Hamilton, Hermary und auch Lucas und Ball, 

 der fter genannte Verfasser der Recreations, gedacht. 

 Auch der Leser wird vielleicht schon daran gedacht 

 haben, ob die Rundreise, welche er im Sommer beabsich- 

 tigt, die Hamilton'sche Bedingung erfllt, dass jede Sta- 

 tion, welche einmal berhrt ist, nicht wieder berhrt 

 werden darf. Um also eine praktische Methode zu ge- 

 winnen, welche auch bei beliebiger Anordnung von 

 Punkten und Verbindungslinien zu Lsungen fhrt, be- 

 trachten wir noch einmal unsere grundlegende Figur, die 

 aus drei concentrischen Kreisen hervorgeht. Markirt man 



bei dieser Figur die durchwanderten Strecken, um sie 

 von den nicht durchwanderten unterscheiden zu knnen, 

 so mnss jede Rundreise immer 20 beschrittene und 10 

 unbeschrittene Strecken ergeben. Denn jede von den 

 20 Stationen verlsst man bei einer solchen Rundreise 

 einmal, so dass ebensoviel Linien beschritten werden, 

 wie es Stationen giebt. Da ferner 30 Linien im Ganzen vor- 

 handen sind, so bleiben immer 10 unbeschrittene Linien brig. 

 Es ist ferner klar, dass jede Station eine, aber auch nur 

 eine, unbeschrittene Strecke aussendet, weil von den 

 3 Strecken, die von ihr ausgehen, eine zur Hinreise und 

 eine zur Abreise benutzt werden muss. Es handelt 

 also darum, von den 30 Linien zehn auszulesen, so 

 von jedem Punkte immer gerade eine ausgeht. Die 

 whl ist aber in praxi immer viel leichter, als die 

 whl der zu befahrenden Strecken, weil die Anzahl 



sich 

 dass 

 Aus- 

 Aus- 

 der 

 letzteren 20, die Anzahl der nicht zu beschreitenden 

 Strecken aber nur 10 betrgt. Bei- 

 spielsweise ist die oben zuerst er- _,.--" ~ --, 

 whnte Rundreise, bei welcher die 

 Reihenfolge der berhrten Stati- 

 onen alphabetisch ist, in der bei- 

 stehenden Figur so dargestellt, 

 dass die 10 nicht beschrittenen 

 Strecken continuirlich gezeichnet 

 sind, die Rundreise selbst aber 

 punktirt ist. Natrlich lassen sich 

 die zehn nicht zu beschreitenden 

 Linien auf mannigfache Weise 



auswhlen, jedoch, wie man leicht sieht, auf nur zwei- oder 

 vierfache Weise, wenn die 5 Anfangsstationen gegeben 

 sind, was mit dem oben nach der Hamilton 'sehen oder 

 Hermary'schen Methode gefundenen Resultat berein- 

 stimmt. Beispielsweise stellen die vier 



folgenden 



Figuren 



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