34 



Naturwissenschaftliche Wochenscliiift. 



Nr. 5. 



gorischen Lehrsatz mit einer Masse Goldes, das Ver- 

 hltnis des goldenen Sclinittes aber mit einem Edelstein. 

 Es liegt nahe, dieses Veihltnis, also das Verhltnis des 

 kleineren Abschnitts zum grsseren, oder was ja eben 

 ihm gleich sein soll, das Verhltnis des grsseren Ab- 

 schnitts zur ganzen Strecke numerisch auszurechnen. 

 Man findet dafr V^ (^^5 1) oder in Decimalstellen 

 0,618 . . Dieses Verhltnis, das wir im Folgenden das 

 goldene'' nennen wollen, ist in-ational, d. h., es giebt 

 keine zwei ganzen Zahlen, und wren dieselben noch so 

 gross, die dieses Verhltnis genau ausdrcken knnten. 

 Man kann aber in beliebiger Menge Paare von ganzen 

 Zahlen finden, die das goldene Verhltnis nherungs- 

 weise ausdrcken. AJle solche Zahlen-Paare erhlt man 

 durch je zwei benachbarte Zahlen einer eigentmlichen 

 Reihe, welche entsteht, wenn man, von den Zahlen 1 und 2 

 ausgehend, jede folgende durcli Addition ihrer beiden 

 Vorgnger bestimmt. Diese Reihe Lame'sche Reihe 

 genannt , lautet also: 

 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, S-i, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . . 



Die hieraus entstehenden Brche Vs, "/s, ^h, 'Vs, 

 sind immer abwechselnd kleiner und grsser, als das 

 goldene Verhltnis, kommen demselben aber immer nhei', 

 ohne ihm je genau gleich werden zu knnen. Die 

 Lame'sche Reihe hat berdies die Eigenschaft, dass das 

 Quadrat jedes ihrer Glieder sich nur um 1 von dem 

 Produkte ihrer beider Nachbarglieder unterscheidet, und 

 zwar abwechselnd um 1 zu gross oder zu klein ist, wie 

 man findet, wenn man zweimal zwei mit einmal drei, d)ei- 

 mal drei mit zweimal fnf u. s. w. vergleicht. 



Die im Vorangehenden geschilderten, geometrischen 

 und aiithmetischen Eigenschaften des goldenen Schnittes 

 und des goldenen Verhltnisses sind natrlich nicht durch 

 Beobachtung gewonnen, sondern mathematisch beweisbar, 

 d. h. aus den Grundeigenschaften des Raumes und den 

 Grundlagen unseres Denkens direkt abzuleiten. Den 

 Untersuchungen, die sich mit derai'tigen Eigenschaften 

 beschftigen, stehen jedoch Untersuchungen krass gegen- 

 ber, die in unserm Jahi'hundert von phantastisch an- 

 gelegten Gelehrten angestellt sind, und die kein g(-ringeres 

 Ziel haben, als den Nachweis, dass das goldene Ver- 

 hltnis alle Natur- und Kuustkiper beherrsche und 

 deslialb gewissermasseu ein morphologisches Grundgesetz 

 der Natur und der Kunst sei. Hauptschlich hat in 

 dieser Richtung der Mnchener Gymnasial - Professor 

 Adolf Zeising um die Mitte unseres Jahrhunderts ge- 

 arbeitet. Von hervorragenden Naturforschern hal)cn dann 

 namentlich der Botaniker Alexander Braun und der 

 Mineraloge Naumann Messungen angestellt und Arbeiten 

 geliefert, welche gleichfalls das berwiegende Voi'kommen 

 des goldenen Verhltnisses an Naturkrpein Ijeweisen 

 sollten. Neuerdings ist endlich in Augsburg ein von 

 Professor Pfeiffer in Dillingen verfasstes und Der gol- 

 dene Schnitt in Mathematik, Natur und Kunst" betiteltes 

 Werk erschienen, welches, unter Hinzufgung dei- eigenen 

 Untersuchungen des Verfassers, alle frheren, auf das 



Vorkommen des goldenen Verhltnisses gerichteten Unter- 

 suchungen in ausfhrlichste!- Weise bespricht. Zunchst 

 soll der goldene Schnitt das Planeten-Sj^stem beherrschen. 

 Nun haben aber die Entfernungen der acht giossen 

 Planeten von der Sonne nicht das ersehnte Verhltnis. 

 Die Enthusiasten des goldenen Schnittes aber wissen sich 

 zu helfen. Sie addieren die Entfernungen des ersten 

 und dritten, des zweiten und vierten, des fnften und 

 siebenten, des sechsten und achten Planeten von der 

 Sonne, und geben ihrer Freude darber Ausdruck, dass 

 die erste und zweite dieser vier Summen, sowie aucli die 

 dritte und vierte das goldene Verhltnis nherungsweise 

 zeigen. In einer hnlich willkrlichen Weise werden 

 auch von den auf die Monde der Planeten sowie ihre 

 Umlaufszeiten bezglichen Zahlen solche hei'ausgesucht, 

 die in die Zwangsjacke des goldenen Verhltnisses einiger- 

 massen passen. Dass wirklich zwei kleine Planeten, 

 Medusa und Hermione, in ihren Entfernungen von der 

 Sonne dem goldenen Schnitt annlK-rnd entsiireehen, darf 

 nicht Wunder nehmen, wenn man beachtet, dass man, 

 wenn man nur 180 solche Planeten rechnet, 16110Ent- 

 fernungs-Vei'hltnisse bilden kann. Um auch die Herr- 

 schaft des goldenen Schnittes in der Geographie zu zeigen, 

 hat Zeising den vom Lande bedeckten Teil mit dem 

 vom Meei'e bedeckten Teile der- Erdoberflche verglichen. 

 Da beide Teile abei- im jetzigen Jahrtausend sich etwa 

 wie 100 zu 263 verhalten, und diese Zahlen unmgUch 

 mit dem goldenen Schnitt in Einklang zu biingen waren, 

 so zog Zeising aus beiden Zahlen die Quadratwurzel, 

 und der gewnschte Einklang Avar erreicht. Nur hatte 

 Zeising dabei vergessen, dass, wenn die Vornahme be- 

 liebigei' arithmetische)' Operationen zulssig ist, jedes 

 Vei'hltnis in jedes andei'e verwandelt weiden kann. Dies 

 gelingt sogar schon durch blosse Addition. So kann man 

 z. B. aus 1000 zu 2000 dadurch, dass man zu beiden 

 Zahlen 618 addiert, das goldene Verhltnis herausbringen. 

 Auf etwas festeren Fssen stehen die Untersuchimgen, 

 welche den goldenen Schnitt im Pflanzeni'eiche nachzu- 

 weisen streben, wenigstens, soweit sie die Blattstellung 

 betreffen. Geht man am Stengel einer Pflanze von der 

 Ansatzstelle eines t^.lattes nach oben bis zur Ansatzstelle 

 des nchst hhei-en Blattes, von diesem Blatte ebenso 

 weiter zum zA\'eiten Blatte, u. s. w., so trifft man schliess- 

 lich auf ein Blatt, dessen Ansatzstelle sich gerade ober- 

 halb deijenigen des Anfangs-Blaltes befindet. Ist dieses 

 das b-te Blatt, und hat man, nm auf dasselbe zu kommen, 

 den Umfang des Steiles a-mal umkreisen mssen, so ist 

 a : b immer derselbe Bruch, welches Blatt man auch als 

 Anfangsblatt nehmen mag, oder, Avas auf dasselbe hinaus- 

 kommt, projiziert man die Ansatzstellen zweier aufein- 

 anderfolgender Bltter auf einen kreisfrmig gedachten 

 Querschnitt des Stengels, so erhlt man zwei Punkte, 

 deren Bogen-Entfernung immer dieselbe Grsse hat, nm- 

 lich a:b mal 360". Den Bruch a:b nennt man den 

 Blattstellungsbruch der betreffenden I'flanze. jVls Blatt- 

 stellungsbi'che treten nun vorherrschend diejenigen Brche 



