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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. G. 



der Regel jeder, der ber die.sen Gegenstand Belehrung 

 sucht, nicht nur den in der Natur der Sache liegenden 

 Schwierigkeiten, sich daiber klar zu weiden, gegenber- 

 steht, sondern auch einer teils durch weitverbreitete, 

 unabsichtliche Missverstndnisse, teils durch bewusste 

 Tusclunigen herbeigefhrten argen Verwirrung der Vor- 

 stellungen und Begriffe. 



Schon die doppelte Ausdrucksweise: vierte Dimen- 

 sion des Raumes" und vierdimensionalei' Raum" ist ein 

 Zeichen dieser Verwirrung. Wenn man von einer vierten 

 Dimension des Raumes spricht, so stellt man sich vor, 

 dass unserem Weltrume neben den drei Ausdehnungen 

 der Lnge, Breite und Hhe, noch eine mysterise vierte 

 Dimension von gleichartiger Natur mit den anderen zu- 

 geschrieben werde. Dies ist aber ein Unding, und die 

 ganze Ausdrucks weise vierte Dimension des Raumes" 

 beruht auf einem Missverstndnis und ist zu verwerfen. 

 Spricht man dagegen von einem vierdiuiensionalen Rume, 

 so hat zu diesem Begriffe die folgende Ueberlegung ge- 

 fhlt: In der Geometrie wiid uns gezeigt, dass der 

 Punkt keine Ausdehnung hat, die gerade Linie eine 

 einzige, die wir Lnge nennen, die ebene Flche deren 

 zwei, nmlich Lnge und Breite, der Raum dagegen, 

 wie jeder Krper, der ja nur einen Teil desselben vor- 

 stellt, deren drei, wie schon oben bemerkt. Da nun die 

 Gerade, die Ebene und der Raum in gleicher Weise 

 Gebiete sind, in denen wir allerlei geometrische Gebilde 

 konstrieren und deren Eigenschaften untersuchen knnen, \ 

 so knnen wir auch den Begriff' des Raumes erweitern, 

 indem wir die Gerade einen eindimensionalen Raum 

 nennen und die Ebene einen zweidimensionalen, whrend 

 unser Weltraum ein dreidimensionaler Raum bleibt. Und 

 wir knnen uns, zwar nicht in anschaiichei', aber doch 

 in abstrakt denkender Weise zu dem Begriffe eines vier- 

 dimensionalen Raumes erheben, in welchem unser Welt- 

 raum (Erfahrungsraum) neben beliebig vielen anderen 

 seinesgleichen ebenso Platz htte, -vde beliebig viele 

 Ebenen in unserem Weltrume, oder beliebig viele Ge- 

 raden in einer Ebene. Dieser ,,vierdimensionale Raum" 

 ist also ein reines Produkt mathematischer Spekulation, 

 dient nui' mathematischen Zwecken, und um die Frage 

 nach seiner etwaigen wirklichen Existenz kmmert sich 

 kein Mathematiker. 



Dies rausste zur Klarstellung des Begriffes vorange- 

 schickt werden. Man wird nun fi'agen: Wenn die Ge- 

 ometrie sich 2000 Jahre lang mit den Rumen zufrieden 

 gab, die nur mit einer, zwei oder drei Dimensionen be- 

 dacht sind, und wenn doch von diesen allein praktische 

 Anwendungen auf die Gebilde der realen Welt zu machen 

 sind, wie kam man in dem nach piaktischen Anwendungen 

 alles Wissens gierigsten aller .Jahrhunderte dazu, die 

 Geometrie auf ein so nebelhaftes Gebiet auszudehnen, 

 und lermit einen Schritt ins Abstrakte zu thun, wie er 

 in gleicher Khnheit in der Wissenschaft selten dage- 

 wesen? Die Erklrung ist leicht, wenn man bedenkt, 

 dass zwar die angewandten Wissenschaften in ihrer Ent- 



wickelung durcli die Forderungen der Zeit beeinflusst, 

 hier gehemmt, da gefrdert werden, dass aber eine reine 

 Geisteswissenschaft, wie die Mathematik, in ihrer Aus- 

 bildung unentwegt vorwrts schreitet, da die treibenden 

 Krfte nur in ihr selbst wirken. Wie diese Krfte nun 

 gerade in unserem .Jahrhundert zur Entstehung einer 

 Geometrie des vierdimensionalen Raumes drngten, sei 

 der nchste Gegenstand unserer Betrachtung. 



Schon lange war es den Mathematikern aufgefallen, 

 dass fr einen der elementarsten geometrischen Stze, 

 betreffend die Winkel, welche eine Gerade mit zwei 

 Parallelen bildet, ein strenger Beweis nicht erbracht 

 werden konnte, so dass derselbe als eine unbewiesene 

 Thatsache unter dem Namen Parallelenaxiom" (IL Axiom 

 des Euklid) in den Lehrbchern seine Stelle fand. Dieser 

 Umstand fhrte schliesslich mehrere Geometer auf den 

 Gedanken, die Grundzge einer Geometrie zu entwickeln, 

 in welcher dieses Axiom nicht galt, also auch nicht be- 

 wiesen zu werden brauchte. Natrlich wurden in dieser 

 nichteuklidischen" Geometrie alle diejenigen Resultate, 

 die sonst aus jenem Axiome folgten, durch neue, unseren 

 gewohnten geometrischen Anschauungen und Begriffen 

 widersprechende ersetzt. Namentlich zeigte sich, dass in 

 der nichteuklidischen Geometrie die Winkelsumme eines 

 Dreiecks kleiner als 180" war. Spter fand man, dass 

 noch eine dritte Geometiie erdacht werden konnte, in 

 welcher jene Summe grsser als 180 gefunden wurde. 

 Theoi'etisch erschienen alle drei Arten der Geometrie als 

 gleichberechtigt, aber es mussten die beiden neu gefun- 

 denen Arten so lange als widersinnig betrachtet werden, 

 als man nicht ein Gebiet angeben konnte, in welchem 

 sie wii'klich galten. Nun stellte sich aber heraus, dass 

 die letztgenannte Geometrie keine andere war als die der 

 (konstant positiv geki'mmten) Kugelflche, vorausgesetzt, 

 dass man die grssten Kugelkreise als gerade Linien der 

 Kugelflche auffasste; und auch fr die nichteuklidische 

 Geometrie wuixle eine (konstant negativ gekrmmte) 

 Flche gefunden, auf welcher sie unter entsprechenden 

 Voraussetzungen Geltung fand.*) Diese Flchen erliielten 

 nun durch die besonderen Geometrieen, die man fr sie 

 gefunden, g-ewissei'massen gleichen Rang mit der Ebene 

 (Flche mit der Krmmung Null); und wenn man nun alle 

 drei Flchen als zweidimensionale Rume bezeichnete, 

 die sich nur durch die Beschaffenheit ilrrer Krmmung 

 unterschieden, so konnte es nicht ausbleiben, dass man 

 diese neuen Vorstellungen auch auf den dreidimensionalen 

 Raum zu bertragen suchte, und neben den bisher allein 

 betrachteten Weltraum, der jetzt als einziges uns be- 

 kanntes und zugngliches Exemplar der Gattung drei- 

 dimensionaler Raum mit der Krmmung Null" erschien, 



*) ]Seispiele fr die oben erwhnten Dreiecke liefern: 1. im 

 Falle der ziiletzfgenannten Geometrie ein Dreieck auf der Erdkugel, 

 begrenzt von einem Aerinatorbogen und zwei aus seinen Endpunkten 

 nach einem l'ol gellenden Meridianbogen; 2. im Falle der nicbt- 

 euklidischen Geometrie ein ebenes Dreieck, gebildet aus drei Kreis- 

 bogen, welche einem in der Dreiecksflche gelegenen Punkte smt- 

 lich ihre convex gekrmmte Seite zuwenden. 



