Nr. 6. 



Natunvissenschaftliclie Wochensclirift. 



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noch zwei Arten von Rumen setzte, einen positiv und 

 einen neg-ativ g-ekriimraten. Selbstverstndlich verzichtete 

 man hier von vornherein auf jeden Versuch, einen der- 

 aitigen Raum wirklich aufzufinden; auch war man in 

 der Erkenntnis der Bedeutung- der abstrakten Geometrie 

 schon weit genug vorgeschritten, um diese Rume nicht 

 deshalb als widersinnige Denkprodukte zu verwerfen, 

 weil unsere Erfahrung ber die Existenz eines einzigen 

 krmraungslosen Raumes uns verbot, diese Rume als 

 wii-klich existierend anzusehen. Dieselben waren eben 

 Produkte mathematischer Ueberlegung, wie tausend an- 

 dere geometiische Gebilde, nur dass sie der Anschau- 

 lichkeit entbehrten. 



Nun lehrte aber die Geometrie, dass alle ebenen 

 und gekrmmten zweidimensionalen Flchen in unserem 

 dreidimensionalen krmmungslosen Weltrume existierten, 

 oder konstruiert, oder wenigstens gedacht werden konnten, 

 und es lag daher wieder nahe, fr die drei Arten des 

 dreidimensionalen Raumes ein gemeinsames krmmungs- 

 loses vierdimensionales Gebiet anzunehmen, in welchem 

 sie alle Platz finden konnten, und zwar nicht in je 

 einem, sondern in beliebig vielen Exemplaren. Dieses 

 Gebiet ist der vierdimensionale Raum der Mathematik. 

 Die Methode der Analogie, welche uns hier aus dem 

 Gebiete des dreidimensionalen Raumes in das des vier- 

 dimensionalen gefhrt hat, gestattet sofort den Schluss. 

 dass dieser abstrakte Piozess der Raumbildung beliebig 

 weit fortgesetzt werden kann, und in der That besitzen 

 wii' schon zahlreiche Resultate der Geometrie, welche fr 

 einen Raum von beliebig vielen Dimensionen gelten. 



Neben den Betrachtungsweisen der nichteuklidischen 

 Cieometrie boten sich aber auch noch andere Wege, um 

 zu einer Ausdehnung des Raumbegriffes auf mehi' als 

 drei Dimensionen zu gelangen. Namentlich htte die 

 von alters her bekannte und seit Descartes, wie im Ein- 

 gange erwhnt, zur Auffindung neuer Wahiheiten plan- 

 inssig ausgenutzte Anwendung des Zahl- und Massbe- 

 griffes auf die Geometrie schon lngst zur Ausfhrung 

 jener Verallgemeinerung fhren knnen, wenn nur irgend 

 eine zwingende Veranlassung dazu sich geboten htte. 

 Bedenkt man nmlich, dass eine einfache Zahl a die 

 ]^nge einer gemessenen Strecke darstellt, die zweite 

 Potenz dieser Zahl, a-, den Flcheninhalt des ber der 

 Strecke a als Seite errichteten Quadrates, und die dritte 

 Potenz a^ den Rauminlialt des ber diesem Quadiate als 

 Grundflche konstruierten Wi-fels, so entsteht naturge- 

 niss die Frage nach der geometrischen Bedeutung dei- 

 folgenden Potenzen a*, a^ u. s. w., und man sieht leicht, 

 dass diese Grssen die Resultate der einfachsten Inhalts- 

 bestimmungen in den Rumen mit 4, 5 und mehr Di- 

 mension sind, sobald man sich nur entscUiesst, diesen 

 Rumen und den fr sie geltenden Geometrieen das 

 Brgeirecht in der Geometrie zu gewhren, trotzdem 

 dass die Anschauung uns hier berall im Stich lsst. 

 Da ferner eine Gleichung als algebraische Ausdrucksform 

 fr einen Punkt, eine Linie oder eine Flche angesehen 



werden kann, je nachdem sie 1, 2 oder 3 vernderliche 

 Grssen enthlt, so ergiebt sich von selbst die Frage 

 nach der geometrischen Bedeutung einer Gleichung mit 

 4 und mein- Vei'nderlichen. Und auch diese Bedeutung 

 wird in den Rumen mit 4 und mehr Dimensionen ge- 

 funden. Wenn nun auch, wie gesagt, diese Uebeile- 

 gungen nicht die Veranlassung zur Aufstellung des Be- 

 griffs mehrdimensionaler Rume geworden sind, so sieht 

 man doch, wie einfach diese Rume sich in den Rahmen 

 gelutiger geometrischer Vorstellungen einfgen, und wie 

 brauchbar sie sind, um die sonst nur in beschrnkten 

 Grenzen mgliche gegenseitige Verwandlung algebraischer 

 und geometrischer Betrachtungen und Resultate beliebig 

 weit auszudehnen. 



Wir haben oben g-esehen, dass die Geometrie ur- 

 sprnglich den Charakter einer Erfahrungswissenschaft 

 besitzt, und zwar nicht nui', weil die Ausgangspunkte 

 ihrer Betrachtungen in dem Erfalirungsraume und der in 

 demselben verteilten Krperwelt liegen, sondern auch, 

 weil sie bestndig in der Lage ist, die Richtigkeit ihrer 

 Ergebnisse durch die Uebereinstimmung derselben mit 

 den Thatsachen der Wirklichkeit messend zu kontrolieren. 

 Da aber anderseits die geometrischen Gebilde neben ihrer 

 Verkrperung (wozu auch Zeichnungen und alle sonstigen 

 Hilfsmittel der Anschauung zu rechnen) auch eine ideale 

 Existenz in unserem Geiste besitzen, und sogar erst in 

 diesen gedachten und vorgestellten Gebilden ihre Eigen- 

 schaften in voller Reinheit zum Ausdruck kommen, so 

 muss es nicht nur mglich sein, die Geometrie, wie lngst 

 blich, in dem Sinne als reine Geisteswissenschaft auf- 

 zufassen und zu entwickeln, dass man, den Begriff des 

 Weltraums und die Grundaxiome abgerechnet, von der 

 Erfahrung gnzlich Abstand nimmt, sondern es muss auch 

 mglich sein, die Anzal der Dimensionen des betrach- 

 teten Gebietes (Gerade, Ebene oder Raum) als neben- 

 schlich anzusehen und eine Geometrie zu entwerfen, 

 deren Wahrheiten in jedem Gebiete von beliebig vielen 

 Dimensionen gelten. Zu dieser abstrakten Wissenschaft 

 wrden dann unsere Geometrieen der Ebene und des 

 Raumes in dem Verhltnis stehen, dass sie specielle Flle 

 derselben darstellen, welche in den Erscheinungen unserer 

 Krperwelt ein reales Geltungsgebiet besitzen. Diese 

 abstrakte Auffassung der geometrischen Wissenschaft ist 

 nun in der That vor mehr als 40 .Jahren durch Grass- 

 mann begrndet und zur Durchfhrung einer solchen 

 n-dimensionalen Geometrie, der Ausdehnungslelu-e", ver- 

 wendet worden, wozu allerdings eine besondere analy- 

 tische Methode erforderlich war, die schliesslich von dem 

 parallelen geometrischen Gedankenprozesse sich niu' durch 

 die ussere Form der Darstellung und die Terminologie 

 unterscheidet. Es ist demnach im Ganzen ersichtlich, 

 dass es sich bei diesem Unternehmen nicht nur um einen 

 vierdimensionalen Raum, sondern um ein Gebiet mit be- 

 liebig vielen Dhnensiouen handelt, und dass in dieser 

 abstrakten Geometrie der anscheinende Widerspruch, in 

 welchen sich der Begriff eines mehr als dreidimensionalen 



