

Verlag: Riemann & Mller, Berlin SW. 48, Friedricli-Strasse 226. 



Ueber den sogenannten vierdimensionalen Raum. 



Von Dr. V. Schlegel. 

 (Fortsetzung) 



Schwieiif,'er wird der Fortschiitt in.s Mehrdimensionale i und Kanten jede.smal gleich viele Grenzkrper zusammen- 

 da, wo die rechnerische Begrndung dieses Fortschrittes ' treffen. Solcher Gebilde giebt es sechs, und zwar sind 

 nach der Natur der Sache ausgeschlo.ssen oder nur kn.st- die Grenzki-per in drei Fllen Tetraeder, in je einem 

 lieh zu erlangen ist. Ein Beispiel fr diesen Fall bietet > Falle Hexaeder, Oktaeder und Dodekaeder. Dehnt man 



die Frage nach der Anzahl und Beschaffenheit der so- 

 genannten regulren Gebilde, zunchst im vierdimen- 

 sionalen Rume. Man weiss, dass es in der Ebene re- 

 gulre Vielecke von jeder behebigen Seitenzahl giebt, 

 die das gemeinsame Merkmal haben, dass ihre Flchen 

 von lauter gleichlangen Strecken begrenzt werden, von 

 denen immer je zwei in einem Eckpunkte, und zwar 

 unter lauter gleichen Winkeln zusammenstossen. Die 

 entsprechenden Gebilde des Raumes sind die regelmssigen 

 Krper, die von kongruenten regelmssigen Vielecken 

 begrenzt werden, von welchen in jeder Ecke des Krpers 

 eine gleiche Anzahl zusammenstsst, Avhrend in allen 

 Kanten je zwei Flchen unter gleichen Winkeln zu- 

 sammentreffen. Solcher Krper giebt es bekanntlich nur 

 fnf. Unter diesen werden drei von gleichseitigen Drei- 

 ecken begrenzt, von welchen in jeder Ecke drei (beim 

 Tetrai'der) oder vier (beim Oktaeder l oder fnf (beim 

 Ikosaeder) zu.sammenstossen ; einer (der Wrfel oder das 

 Hexaeder) wird von Quadraten, einer (das Dodekaeder) 

 von regelmssigen Fnfecken begrenzt, wobei jedesmal 

 drei Grenzflchen um eine Ecke gelagert sind. Es ist 

 nun nachgewiesen, dass auch der vierdimensionale Raum 

 ganz analoge regelmssige Gebilde besitzt, die ihrerseits 

 wieder von regelmssigen Krpern begrenzt werden, und 

 zwar so, dass bei jedem dieser Gebilde in allen Ecken 



diese Betrachtungen auf Rume von beliebig vielen Dimen- 

 sionen aus, so findet sich, dass drei Arten regelmssiger 

 Gebilde in jedem dieser Rume vertreten sind. Die 

 erste Reihe von Gebilden beginnt in der Ebene mit 

 dem gleichseitigen Dreieck, begrenzt von drei kon- 

 gruenten Strecken ; dann folgt im dreidimensionalen Rume 

 das regelmssige Tetraeder (Vi er flach), begrenzt von 

 vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken, und im vier- 

 dimensionalen Rume das sogenannte Fnfzeil, begrenzt 

 von fnf kongruenten regelmssigen Tetraedern. Die 

 zweite Reihe beginnt in der Ebene mit dem Quadrat 

 (Viereck), begrenzt von vier kongruenten Strecken, 

 setzt sich im dreidimensionalen Rume fort mit dem 

 Wrfel (S echsflach I, begrenzt von sechs kongruenten 

 Quadraten, und im vierdimensionalen Rume mit dem 

 Achtzeil, begrenzt von acht kongruenten Wrfeln. 

 Die dritte Reilie beginnt in der Ebene ebenfalls mit dem 

 Quadrate; es folgt im gewhnlichen Rume das Oktaeder 

 (Achtflach), begrenzt von acht kongruenten Dreiecken, 

 und im vierdimensionalen Rume das Sechzehnzell, 

 begrenzt von sechzehn Tetraedern. Das Bildungsgesetz 

 dieser drei Reihen von Gebilden Ist nach diesen Angaben 

 auch fr die hheren Rume leicht zu erkennen. 



Aber so einfach auch fr das abstrakte Denken der 

 Fortschritt in den vierdimensionalen Raum sich oft ge- 



